码元、波特率、比特率、频带利用率及数字通信系统的可靠性指标

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前言

本文介绍通信原理中容易混淆的一个概念，波特率和比特率的关系。因此先从码元的概念讲起，接着介绍波特率、比特率、频带利用率等相关概念，最后介绍了数字通信系统的可靠性指标。

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一、码元

码元是承载信息量的基本信号单位，在数字通信中常用时间间隔相同的符号来表示一个二进制数字，这样的时间间隔内的信号称为（二进制）码元。而这个间隔被称为码元长度。值得注意的是当码元的离散状态有大于2个时（如M大于2个）时，此时码元为 M 进制码元。

举例：假定基带信号为 10101100011011101

• 直接传送。也就是上面每位二进制数都是一个码元，这种方式被称为二进制码元。发送的过程就是：1、0、1、0……，传多少个数字就要用多少个码元。每个码元的信息量是 1bit（用自信息量的公式计算即可）。
• 如果两两一组，发送的过程就是：10、10、11……，两个二进制数为一个码元，这种方式被称为四进制码元。每个码元的信息量是 2bit。
• 将上面的信号3个一组，分为 101、011、000、110、111、010……，这被称为八进制码元，每个码元为 3bit。
• 类比下去，n 个二进制数一组，就能构成 M 进制码元，其中 M=$2^n$。

那我们为什么用时间间隔来定义码元长度呢？因为每个码元的信息量确定了，对于同一个信道，单位时间能传输的信息量是固定的，所以每个码元的传输时间也就随之固定了。

一个码元就是一个脉冲信号，一个脉冲信号有可能携带 1bit 数据，也有可能携带 2bit 数据、4bit 数据！你发送一个脉冲信号，如果就可以携带 4bit 数据，肯定发送速率更快啊！

二、码元传输速率$R_B$（传码率、波特率）

• 定义：每秒传送的码元个数
• 单位：波特（Baud）
• 计算：若一个码元的时间长度为$T_s$秒，则$$R_B=\frac{1}{T_s}$$

例如：$T_B$=1 ms，即1秒内传输1000个码元，则$R_B$ = 1000 Baud

三、信息传输速率$R_b$（传信率，比特率）

• 定义：每秒传递的比特数（信息量）
• 单位：比特/秒（bit/s），简记为 b/s 或 bps

四、$R_B$ 和 $R_b$的关系——H（信源的熵） 为纽带

$$H=\sum _{i=1}^{M}p(x_i){\log }_2^{\frac{1}{p(x_i)}}\text{(b/符号)}$$

$R_b$ = $R_B\cdot H$，等概率时， $R_b$ = $R_B\cdot {\log }_2^M$

当 M = 2 时（即二进制码元），$R_b$ = $R_B$
当 M > 2 时， $R_b$ > $R_B$

五、频带利用率——把 B 与传输速率联系起来

1、概念

定义为单位带宽内的传输速率，即
$$\eta =\frac{R_B}{B}(Baud/Hz)$$
$${\eta }_b=\frac{R_b}{B}(bps/Hz)$$
$${\eta }_b=\eta \cdot {\log }_2^M$$

2、举例

那么请看下面的问题，请问哪个系统的有效性好：
A 系统：2000 b/s，占用 2000 Hz 的带宽
B 系统：1500 b/s，占用 1000 Hz的带宽

答：由上面的公式不难计算 A 系统单位赫兹（1Hz）的传输速率是1 b/s，B系统单位赫兹（1Hz）的传输速率是1.5 b/s。所以同样用 1Hz 带宽传输信息，B 传输的更快，B 更有效。

六、有效性指标关系图

比特率和波特率他们之间的关系靠熵来联系，而频带利用率它又把传输速率和传输带宽联系起来了，两个频带利用率之间的关系也是靠熵来联系，等概时，熵有最大值，即进制数的对数。

七、数字通信系统的可靠性指标

1、误码率

$$P_e=\frac{错误码元数}{传输总码元数}=\frac{N_e}{N}$$

2、误信率（误比特率）

$$P_b=\frac{错误比特数}{传输总比特数}=\frac{I_e}{I}$$

二进制：$P_b=P_e$；
M 进制：$P_b<P_e$

具体原因可参考下面的例题：

可以看到从二进制码元变成四进制码元时，$P_e$不变，$P_b$减半。

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