计算球体上一点指向球心的姿态

背景：最近有个需求，需要用相机拍摄一个物品，初始状态下相机在该物体正上方，随后相机的坐标按一定规律变化，要求它的视野中心一直固定在该物体上。这个问题可以理解为：以物品建立一个坐标系，相机在该空间下的姿态为[x,y,z, $\alpha$,$\beta$,$\gamma$]。其中X、Y、Z为相机在物体坐标系下的坐标，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为相机绕三轴旋转的夹角。而X、Y、Z为已知量，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为待求量。

关于求角度的问题，可以转换为球体的角度问题：

对于球体上的一点，我们可以通过三维直角坐标系表示，同时也可以球坐标系表示。假设球体上一点的初始坐标在[0,0,r]，其中$r$为球体的半径。则我们可以通过两次旋转将该点转动到球体上的任意位置，因此该点的表示方式为：[$r$，$\varphi$，$\theta$]。$r$是球面坐标点到球心的距离；$\varphi$为是赤道面（由 x 轴与 y 轴确定的平面）上起始于 x 轴，沿逆时针方向量出的角度；$\theta$是 z 轴与 r 的夹角。

回到最初的问题上，该问题可以理解为：初始状态下，相机的姿态为[0，0，0，3.14，0，0]，即相机在Z轴正上方位置，相机的Z轴朝下。则如果此时我们需要将相机转动到球体上的[$r$，$\varphi$，$\theta$]位置时，得到相机的新的角度值为[3.14+$\theta$，0，$\varphi$]，这样，我们就能知道相机相对于物品的姿态了。

那么接下来就是求一下$\varphi$，$\theta$两个角度就可以了，根据三维直角坐标系表示方法与球坐标系表示方法之间的关系：
$$\{\begin{array}{l}x=rsin\theta cos\phi ,\\ y=rsin\theta sin\phi ,\\ z=rcos\theta \end{array}$$

可知，当已知球体上一个点的坐标[X、Y、Z]，则可以根据上式求出绕两个轴的旋转角度：
$$\{\begin{array}{l}\theta =arccos(z/r)\\ \phi =arcsin(y/(rsin\theta ))\end{array}$$
则根据上式可以得知在任意位置上的相机姿态为：[X、Y、Z、3.14+$\theta$，0，$\varphi$]。

根据TF发布一下结果：

可以看到虽然相机的位置是一直在发生变化的，但是相机的Z轴是始终指向circle的中心的，则可以满足开始的需求。

参考：

唯心识学061·简单介绍一下球坐标系