4.数组与基本数学函数

一、数组

1.概念

数组是存放相同类型对象的容器，数组中存放的对象没有名字，而是要通过其所在的位置访问。数组中的每一个元素都相当于一个普通的变量，可以和普通变量一样进行赋值操作。

数组可以帮助我们批量地处理相同数据类型的相关数据，大大地简化了代码，几乎是我们后续所有学习的基础，是一个非常重要的工具。

数组的大小是固定的，不能随意改变数组的长度。后续我们会学到 STL 为我们提供的 vector 动态数组，它将是可以动态改变长度的。

2.定义数组

数组的声明形如 a[len]，其中，a 是数组的名字，len 是数组中元素的个数。在编译时，len 应该是已知的，也就是说，len 应该是一个整型的表达式。通常使用常量或者宏定义，也可以是变量，但一般不建议使用。

unsigned int len1 = 42;
const int len2 = 42;
int a1[len1];
int a2[len2];

注意不能将一个数组直接赋值给另一个数组，只有数组的元素可以进行赋值：

int arr1[3];
int arr2 = arr1;  // 错误
arr2 = arr1;      // 错误

应该尽量将较大的数组定义为全局变量。因为局部变量会被创建在栈区中，过大的数组会爆栈，进而导致 RE（run time error）。如果将数组声明在全局作用域中，就会在堆中创建数组。

3.初始化

（1）直接初始化

如果定义的数组是全局变量，那么将会自动初始化，而局部变量则不会。

int a[2]={0,3};
int a[100]={0};

2.memset初始化

memset可以按字节进行赋值操作，所以需要注意选择的值。

#include 
memset(a,0,sizeof(dp));

4.访问数组元素

可以通过下标运算符 [] 来访问数组内元素，数组的索引，或者说下标 $index$ （即方括号中的值） 应当满足 $0\le index<len$，如果下标越界，则会产生不可预料的后果，如段错误（Segmentation Fault)，或者修改预期以外的变量。以一个包含 10 个元素的数组为例，它的索引为 0 到 9，而非 1 到 10。

但在 OI 中，为了使用方便，我们通常会将数组开大一点，不使用数组的第一个元素，从下标 1 开始访问数组元素，并且会多开 10 的空间以防出现一些意外情况。

5.两个简单例子

例 1：从标准输入中读取一个整数 $n$，再读取 $n$ 个数，存入数组中。其中，$n\le 1000$。

#include 
using namespace std;

int arr[1010];// 数组 arr 的下标范围是 [0,1009)，但只使用 [1,1000]
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    return 0;
}

例 2：求和数组 arr 中的元素，并输出和。满足数组中所有元素的和小于等于$2^{31}-1$

#include 
using namespace std;

int arr[1010];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        sum += arr[i];
    }
    cout << sum << endl;
    
    return 0;
}

6.多维数组

多维数组的实质是「数组的数组」，即外层数组的元素是数组。一个二维数组需要两个维度来定义：数组的长度和数组内元素的长度。访问二维数组时需要写出两个索引：

int arr[3][4];  // 一个长度为 3 的数组，它的元素是「元素为 int 的长度为的 4 的数组」
arr[2][1] = 1;  // 访问二维数组

我们经常使用嵌套的 for 循环来处理二维数组。

例：从标准输入中读取两个数 $n$ 和 $m$，分别表示黑白图片的高与宽，满足 $n,m\le 1000$。对于接下来的 $n$ 行数据，每行有用空格分隔开的 $m$ 个数，代表这一位置的亮度值。现在我们读取这张图片，并将其存入二维数组中。

#include 
using namespace std;

const int maxn = 1010;
int pic[maxn][maxn];
int n, m;
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
    	for (int j = 1; j <= m; j++)
        	cin >> pic[i][j];
    return 0;
}

我们还可以用同样的方式定义三维、四维，以及更高维的数组。

int a[maxn][maxn][maxn];
int b[maxn][maxn][maxn][maxn];

二、常用数学函数

1.pow指数函数

pow 函数可以进行指数运算，格式是pow(a,n)，用于计算 $a^n$ 。需要注意的是，pow 函数的返回值类型是 $double$，不仅存在精度问题，还无法进行取余操作。所以即便它可以计算很大的数据范围，我们一般都不会使用，后续我们会学习快速幂的写法，彻底淘汰它。

int a = pow(2, 10);//a的值就为1024
int b = 3;
cout << pow(a, 3) <<endl;//输出27

2.abs和fabs绝对值函数

正数的绝对值为它自己，负数的绝对值为它的相反数。abs函数用来处理整型变量，而fabs函数用来处理浮点型变量。

cout<< abs(-2) <<endl;//2
cout<< fabs(-2.4) <<endl;//2.4
cout<< abs(3) <<endl;//3

3.三角函数

• 正三角函数：sin正弦函数，cos余弦函数，tan正切函数
• 反三角函数：asin反正弦函数，acos反余弦函数，atan反正切函数

它们都接受一个双精度浮点数值（指弧度）作为传入的参数，返回的则是对应的数学定义上的三角函数被应用在传入的浮点数值后的结果，类型也是双精度浮点数。

例如，tan(3.1415926535/4)的返回值是1.000000，acos(0.32696)的返回值是1.237711。

4.对数函数

若$a^x=n$，则有$lo{g}_{a}n=x$，这个 $log$ 就是对数函数。

• 以 $e$ 即自然对数为底的对数函数log(x)
• 以 10 为底的对数函数log10(x)

5.取整函数

• round(x)，对 $x$ 进行四舍五入
• floor(x)，对 $x$ 进行向下取整
• ceil(x)，对 $x$ 进行向上取整

cout << round(2.5) <<endl;//3
cout << floor(2.7) <<endl;//2
cout << ceil(2.1) <<endl;//3

6.sqrt平方根函数

数学库中还有一个平方根函数sqrt，它接受一个双精度浮点数值作为传入的参数，返回的也都是对应的数学定义上的浮点数结果。例如，sqrt(42.25)的结果会是 $6.500000$。

三、作业

【入门4】数组