数学建模竞赛知识点汇总（一）——层次分析法

简介

​ 层次分析法(AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

步骤

建立层次结构模型

​ 将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策方案，按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图(使用SmartArt生成)。

1. 最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；
2. 中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；
3. 最低层(方案层)：决策时的备选方案；

构造判断矩阵

一致矩阵法，即：

1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。

2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。

判断矩阵元素 $a_{ij}$​​ 的标度方法

计算权重

算术平均值法

• 将判断矩阵按照列归一化

• 将归一化的各列相加

• 将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

  假设判断矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$,
  那么算术平均法求得的权重向量
  $${\omega }_i=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\frac{a_{ij}}{{\sum }_{k=1}^n{a}_{kj}}$$

  $$(i=1,2,\cdots ,n)$$

几何平均值法

• 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
• 将新的向量的每个分量开n次方
• 对该列向量进行归一化

假设判断矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
那么几何平均法求得的权重向量
$${\omega }_i=\frac{{\left({\prod }_{j=1}^n{a}_{ij}\right)}^{\frac{1}{n}}}{{\sum }_{k=1}^n{\left({\prod }_{j=1}^n{a}_{kj}\right)}^{\frac{1}{n}}},(i=1,2,\cdots ,n)$$

特征值法

• 求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量
• 对特征向量归一化

一致性检验

只有通过了一致性检验，才能够使用计算出的权重

定义一致性指标：
$$\begin{gathered} CI=\frac{\lambda -n}{n-1} \\ RI=\frac{C{I}_1+C{I}_2+\cdots +C{I}_N}{N}=\frac{\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_N}{500}-n}{n-1} \end{gathered}$$
λ：最大特征根；n：唯一非零特征根
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
当一致性比率CR<0.1时，认为A的不一致程度在容许范围内，有满意的一致性，通过一致性检验。

合并排序

$$\sum _{i=1}^m{a}_i{b}_j$$

根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。

层次分析法的局限性

1. 评价的决策层不能太多，否则判断矩阵和一致矩阵的差异会很大
2. 如果决策层中的指标数据是已知的，就不适用

后续

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