层次分析法(AHP))

层次分析法(The analytic hierarchy process, 简称AHP)建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀）

• 层次分析法第一步
  分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
  考虑以下三个问题 ：

1. 我们评价的目标是什么？
2. 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
3. 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

• 层次分析法第二步
  对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
  
  • 该表格的特点 ：
  1. $a_{ij}$表示的意义是，与指标$j$相比，$i$的重要程度。
  2. 当$i==j$时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
  3. $a_{ij}>0$ 且满足$a_{ij}\times a_{ji}=1$ （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）

  • 一致矩阵&正互反矩阵
    若矩阵中每个元素$a_{ij}>0$且满足$a_{ij}\times a_{ji}=1$ ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
    若正互反矩阵满足$a_{ik}=\frac{i的重要程度}{k的重要程度}=a_{ij}\times a_{jk}$，则我们称其为一致矩阵。

    注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

  • 一致性检验
    用于检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。其中用到两个原理 ：第一，一致矩阵的秩一定为1，所以有一个特征值为n，其余全为0。第二,当矩阵非一致时，一定满足${\lambda }_{max}>n$.

  1. 计算一致性指标CI
     $CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$
  2. 查找对应的平均随机一致性指标RI

3. 计算一致性比例CR
$CR=\frac{CI}{RI}$
如果$CR<0.1$, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

• 层次分析法第三步
  由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）

  • 算术平均法求权重
  1. 将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和）
  2. 将归一化的各列相加(按行求和)
  3. 将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
  • 几何平均法求权重
  1. 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
  2. 将新的向量的每个分量开n次方
  3. 对该列向量进行归一化即可得到权重向量
  • 特征值法求权重
  1. 求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
  2. 对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

• 层次分析法第四步
  汇总结果得到权重矩阵
  根据权重矩阵计算得分，并进行排序。