逆元及P3811 【模板】乘法逆元

逆元

在了解逆元前先看看同余的定义：
在数论中，同余是指两个数除以同一个正整数所得的余数相等。通常用符号≡表示同余关系。

具体地说，对于给定的整数a、b和正整数m，如果a和b除以m所得的余数相等，则称a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。

换句话说，如果 (a mod m) = (b mod m)，则称a与b在模m下同余。

逆元：对于一个整数a和模数m，能够找到一个整数x，使得ax除以m的余数为1。换句话说，如果存在整数x满足
$$ax\equiv 1(modm)$$
那么x就是a的乘法逆元。
对于x，可以记为$x=a^{-1}$

模运算

在模运算中，除法运算并不像我们在实数域中那样直接进行，需要借助逆元，比如求：
$$\frac{a}{b}(\mathrm{mod}p)$$
可以求：
$$a\ast b^{-1}(\mathrm{mod}p)$$

求法

费马小定理

$$若p是一个质数，a是任意整数，则有：a^p\equiv a(modp)$$
费马小定理可以用于求解逆元，具体步骤如下：

1. 确定模数p和待求逆元的数a，确保a不是p的倍数。
2. 根据费马小定理，计算$a^{p-2}(modp)$。
3. 得到的结果即为a关于模p的逆元。

优点：好写，简单
缺点：不全面

欧拉定理

欧拉定理：
$$若a和n是互质的正整数，则有：a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$$

注：欧拉函数通常用符号φ(n)表示，是指小于或等于正整数n且与n互质的正整数个数。
根据容斥原理，容易得出：

$$\varphi (x)=\sum _{S\subseteq \{p_1,p_2.....,p_m\}}(-1{)}^{|S|}\frac{n}{{\prod }_{p_i\in S}{p}_i}$$
可化为：
$$\varphi (x)=x\ast \prod _{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})=n$$
程序c++

int eulerPhi(int n) {
    int result = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            while (n % i == 0)n /= i;
            result = result / i*(i-1);
        }
    }
    if (n > 1) result = result / n *(n-1);
    return result;
}

题目

【模板】乘法逆元

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定 $n,p$ 求 $1\sim n$ 中所有整数在模 $p$ 意义下的乘法逆元。

这里 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元定义为 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 的解。

输入格式

一行两个正整数 $n,p$。

输出格式

输出 $n$ 行，第 $i$ 行表示 $i$ 在模 $p$ 下的乘法逆元。

样例 #1

样例输入 #1

10 13

样例输出 #1

1
7
9
10
8
11
2
5
3
4

提示

$ 1 \leq n \leq 3 \times 10 ^ 6, n < p < 20000528 $

输入保证 $ p $ 为质数。

#include 
#include 
using namespace std;
const int M = 1e8;
int inv[M];

int main() {
    int n, p;scanf("%d %d",&n,&p);
    inv[1] = 1; puts("1");
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        inv[i] = 1ll*(p - p / i) * inv[p % i] % p;
        printf("%d\n", inv[i]);
    }
    return 0;
}