机器学习中的目标函数、损失函数

损失函数（loss function）又叫做代价函数（cost function），是用来评估模型的预测值与真实值不一致的程度，也是神经网络中优化的目标函数，神经网络训练或者优化的过程就是最小化损失函数的过程，损失函数越小，说明模型的预测值就越接近真是值，模型的健壮性也就越好。

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常见的损失函数有以下几种：

(1) 0-1损失函数(0-1 lossfunction):

0-1损失函数是最为简单的一种损失函数，多适用于分类问题中，如果预测值与目标值不相等，说明预测错误，输出值为1；如果预测值与目标值相同，说明预测正确，输出为0，言外之意没有损失。其数学公式可表示为：

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由于0-1损失函数过于理想化、严格化，且数学性质不是很好，难以优化，所以在实际问题中，我们经常会用以下的损失函数进行代替。

（2）感知损失函数（Perceptron Loss）：

感知损失函数是对0-1损失函数的改进，它并不会像0-1损失函数那样严格，哪怕预测值为0.99，真实值为1，都会认为是错误的；而是给一个误差区间，只要在误差区间内，就认为是正确的。其数学公式可表示为

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（3）平方损失函数（quadratic loss function）：

顾名思义，平方损失函数是指预测值与真实值差值的平方。损失越大，说明预测值与真实值的差值越大。平方损失函数多用于线性回归任务中，其数学公式为：

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我们延伸到样本个数为N的情况，此时的平方损失函数为：

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（4）Hinge损失函数（hinge loss function）：

Hinge损失函数通常适用于二分类的场景中，可以用来解决间隔最大化的问题，常应用于著名的SVM算法中。其数学公式为：

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其中在上式中，t是目标值{-1，+1}，y为预测值的输出，取值范围在（-1，1）之间。

（5）对数损失函数（Log Loss）：

对数损失函数也是常见的一种损失函数，常用于逻辑回归问题中，其标准形式为：

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上式中，y为已知分类的类别，x为样本值，我们需要让概率p(y|x)达到最大值，也就是说我们要求一个参数值，使得输出的目前这组数据的概率值最大。因为概率P(Y|X)的取值范围为[0,1]，log(x)函数在区间[0,1]的取值为负数，所以为了保证损失值为正数要在log函数前加负号。

（6）交叉熵损失函数（cross-entropy loss function）：

交叉熵损失函数本质上也是一种对数损失函数，常用于多分类问题中。其数学公式为：

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注意：公式中的x表示样本，y代表预测的输出，a为实际输出，n表示样本总数量。交叉熵损失函数常用于当sigmoid函数作为激活函数的情景，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题。