DP(背包模型）

01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V 用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

 

#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];  // 体积 价值 
int f[N][N]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if(j

 

一维 

#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<

 完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

基本框架    O(n^3) 会超时 

#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }
    cout<

优化

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 

#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<

 一维

#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            //原来二维与之对应的是 f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);对应正是第i层 不是i-1层 故从小到大即可
            if(j>=v[i]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<

多重背包问题 I 

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si 用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

#include
#include
using namespace std;
const int N=110;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举背包
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)//枚举体积
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            for(int k=0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];k++)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout<

多重背包问题 II

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 ii 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0 0

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10