因数和倍数

一、自然数分类

自然数在很早以前就被人们以数数的方式存在着,所以,便有了0、1、2、3......的产生,物体有了具体的数量后,由于生活所需,就需要对它进行更明确的划分。

以100以内的自然数为例,用各个自然数分别除以2,通过计算,有的孩子给出了如上答案,看到这结果后,立即出现反驳声:这个结论说的有点模糊,这里的整数和小数到底指的是谁?另一孩子立即给出答案:他想表达的意思是两数相除后得到的商的两种情况。

师:他想要表达什么意思呢?

生1:他想表达的是商按照有没有余数来分类。

师:这两种分类标准有什么联系呢?

生2:这两种都是根据商的情况来分类的。

生3:第一种有些商虽然是小数,但是它和余数的道理是相同的。我觉得自然数可以分成两类:有余数的和没有余数的。

生4:老师,我还发现凡是单数除以2后都有余数,双数除以2都没有余数。

师:他说的单数和双数是什么意思?谁来解释?

生1:单数就是个位数字是1、3、5、7、9的数,双数是指个位数字是2、4、6、8的数。

师:对,单数和双数是我们在低年级认识自然数时的说法,在这里它还有另外一个新的名字,单数也叫质数,双数叫偶数。

生2:老师,我明白了,能被2整除的数就是偶数,不能被2整除的数就是奇数,对吧?

师:说的太好了!确实是这样的。这样分类有没有做到不重不漏呢?

生1:好像把0漏掉了。

师:那0到底是奇数,还是偶数呢?

生2:凭直觉,我觉得它应该是偶数吧,但是说不出原因。

生3:老师,我知道,因为0÷2=0,这说明0能被2整除,所以它就是偶数。

师:我们刚刚举的都是特例,能不能用用一个代数式来表示奇数和偶数的普遍性呢?

生1:我觉得应该用n来表示。

生2:我反对,n可以代表任何数,如果它是2,就表示偶数,但如果它是3,就不能表示偶数了。

生3:是不是要用2n来表示?因为偶数是能被2整除的数,2和任何一个数相乘,都能得到2的倍数。

生4:因为n×2=2n,根据乘除互逆2n÷2=n,所以我觉得用2n表示是正确的。

师:对,奇数怎么表示呢?

生1:n+1

生2:不对,如果n表示1的话,n+1=2,这个代数式就表示一个偶数。

生3:2n+1,因为2n表示的是一个偶数,2n+1一定是一个奇数。

生4:因为相邻两个自然数相差为1,只要比偶数多1就是奇数。

生5:这样的话,我觉得还可以用2n-1表示。

生6:我不同意这种说法,如果n表示0,那么2n-1就等于-1,它就不是自然数了。

师:这只是一个特例,其实这两种方法都可以表示,只不过人们常常习惯了使用2n+1来表示奇数。

如果用100以内的自然数依次除以3,该如何划分自然数呢?这个同学想要表达什么意思呢?

生1:他想要表达的意思是根据商是否是3的倍数为分类依据。

生2:可是不能被3整除的有两种情况:余数是1的,和余数是2的。

生3:也就是说100以内的自然数被3整除的能分成三种情况:第一种是能被3整除的,第二种是余数是1的,第三种是余数是2的。

师:如何用代数式来表示这些分类呢?

生1:能整除的用3n表示,因为无论n为任何自然数都是3的倍数。

生2:余数是1的可以用3n+1表示,余数是2的用3n+2表示.

师:说的太好了!被4整除的呢?他想要表达什么?

生1:他说被4除后余数有四种情况:余数分别是0、1、2和3,并且下一组数也是按照这个规律排列的。

生2:我明白了,他的分类依据是按照没有余数、余数是1、余数是2和余数是3这四类来划分的。

师:用代数式如何表示?

生3:没有余数的用4n表示,余数是1的用4n+1表示,余数是2的用4n+2表示,余数是3的用4n+3表示。

师:大家有没有发现一个规律?

生:我知道了,被2整除的数可以把自然数分成两类,被3整除的数可以把自然数分成三类,被4整除的数可以把自然数分成四类......也就是说,自然数是几,就能把它分成几种情况。

师:既然有这么多种分法,那么我们到底按照哪种分类标准最合适呢?

生1:觉得哪一种都可以,但是又觉得太多,太麻烦。

生2:我觉得应该是按照整除2的为标准吧,因为这样的话只用分成两种,也就是奇数和偶数两种就行,多了麻烦,还需要多个命名,不好记。

师:看来今天的讨论太有价值了。

就这样,通过一番烧脑,把100以内的自然数清晰分类。

二.2、3、5倍数特点

  在百数表中,把100以内自然数中的奇数和偶数分别表示如上图(蓝色为奇数,红色是偶数)。怎样才能快速判断出来呢?因为有了上一节课对奇、偶数的命名,孩子们很快就找到答案:个位数字是0、2、4、6、8的数是偶数,个位数字是1、3、5、7、9的数字是奇数。

  师:如果任意给你一个数,能能否一眼看出它是否是偶数?

生1:如果一个个的除,太麻烦了,我只要看个位数字就可以了。

生2:个位数字是0、2、4、6、8的数肯定是偶数。

师:最小的偶数和最大的偶数分别是多少呢?

生1:最小的偶数是2,最大的偶数好像没有。

生2:我不同意他的说法,他把0给丢了,0才是最小的偶数。

师:最小的奇数和最大的奇数分别是多少呢?

生:最小的奇数是1,最大的奇数不存在,因为自然数的个数是无限的。

师:假设a代表十位数字,b代表个位数字,你如何用位值制的方法表示出来一个两位数呢?

生1:a+b

生2:如果a代表2,b代表3,那么a+b=5,这个5是一个一位数,不符合条件。

生3:对,我感觉十位数字应该是这个数字的10倍,所以这个数应该表示为10a+b

师:他要表达什么意思呢?

生:10a表示a的10倍,也就是a个十,b表示b个一。

师:在这里如何限制a和b,才能让这个代数式符合偶数的条件呢?

生:十位上的a无论为何数,10a都是偶数,个位上的b只要是0、2、4、6、8就能符合偶数的条件。

师:能被5整除的数有什么特点呢?

生1:我发现凡是几十和几十五的数字都能被5整除。

生2:老师,他说的太模糊了,我发现只要个位数字是0,或5的数都能被5整除。

师:对,数学除了不引起别人的误会外,还要追求简洁美,更要有数学家的语言。那么谁能用位值制的方法来表示符合条件的代数式呢?

生:10a+b,其中个位数字b为0或5,就能被5整除。

师:那么3呢?

生1:个位数字是3的数字都能被3整除。

生2:不对,13、23和43就不能被3整除。

生3:个位数字是6和9的能被3整除。

生4:不对吧,26、46和56都不能被3整除。

生5:19、29、49也不能。

师:你们除了一个一个数去除外,真的没有发现其他规律吗?

生6:老师我发现,3这一斜列中,每相邻两个数相差9,6这一斜列中,每相邻两个数相差9,9这一斜列中,每相邻两个数也相差9......

师:在百数表中,我们找到了这个规律,但是你怎么样才能快速找出来呢?

生1:我发现每个两位数的两个数字加起来的和都能除以3。

生2:任意一个数只要是把它所有的数字相加是3的倍数就行了。

师:对,一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。一定要有数学家的语言哦!大家课下也可以研究一下下面这种分析方法。

三、奇、偶数的四则运算

前边已经探索过奇数和偶数,凡是数都可以参加四则运算,那么奇偶数加减乘除后,会得到什么结果呢?(数字例子只能是一种特例,而代数式则具有普遍性,所以下面代数式中m和n均为自然数)

奇数加奇数:(2n+1)+(2m+1)=2m+2n+2=2(m+n+1),m+n+1无论是何数,它的2倍都是一个偶数,所以奇数+奇数=偶数。

奇数减奇数:(2m+1)-(2n+1)=2m-2n=2(m-n),m-n不论是何数,它的2倍都是一个偶数,所以奇数-奇数=偶数。

奇数乘奇数:(2m+1)×(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1,显然,2(2mn+m+n)是偶数,加1就是奇数,所以奇数×奇数=奇数。

奇数除以奇数:(2m+1)÷(2n+1)显然代数式是无法分解的,可以利用假设法,假设它的商是偶数,从上例中已知奇数×奇数=奇数,显然这个假设不成立;假设它的商是奇数,奇数×奇数=奇数,符合条件,所以奇数÷奇数=奇数。

偶数加偶数:2n+2m=2(m+n),显然这个数是偶数,所以偶数+偶数=偶数。

偶数减偶数:2m-2n=2(m-n),m-n不论是何数,它的2倍都是一个偶数,所以偶数-偶数=偶数。

偶数乘偶数:2m×2n=4mn,它也是偶数,所以偶数×偶数=偶数。

偶数除以偶数:2m÷2n=m÷n=m/n,这个结果可以是奇数,也可以是偶数,所以偶数÷偶数既可以是奇数,也可以是偶数。

奇数加偶数:(2n+1)+2m=2m+2n+1=2(m+n)+1,2(m+n)是偶数,再加1,就是奇数,所以奇数+偶数=奇数。

奇数减偶数:(2m+1)-2n=2m-2n+1=2(m-n)+1,2(m-n)是一个偶数,减1是奇数,所以奇数-偶数=奇数。

奇数乘偶数:(2m+1)×2n=4mn+2n=2n(m+1),显然,2n(m+1)是偶数,所以奇数×偶数=偶数。

奇数除以偶数:(2m+1)÷2n,奇数÷偶数不可能是整数,所以它的结果可能是分数,或小数。

四、如何快速判断是质数还是合数

按照是否是2的倍数,可以把自然数分为奇数和偶数,除了这一种分类标准外,还有没有其它的分类标准呢?比如,把1~30之内的所有自然数分解成尽可能多的整数相乘的形式,如下图所示:

师:你发现了什么?

生:都是可以利用乘法口诀,或通过口算分成两个数相乘的形式。

师:暂不说他分的所有算式都是正确的,没有漏掉的,单说分出来的算式,你有发现吗?

生:有的算式能分成多个数相乘,而有的只能分成两个数相乘

师:那这能不能算是对自然数另一种分类了呢?

生:肯定算了

师:它的分类标准是什么呢?

(对于这种分类他们只能意会,不能言谈。后来宋老师由算式2×3=6为例,引导学生认识到在乘法算式中,6是2和3的倍数,2和3是6的因数,也就是说积是乘数的倍数,乘数是积的因数。此时学生才以因数的多少为分类依据。)

师:以这个分类为依据,到底可以分为哪两类呢?

生1:有两个因数的为一类,三个因数的为一类,四个因数的为一类......不行,这样分类还是比较模糊。

生2:我认为应该把只有1和它本身两个因数的分一类,把因数比较多的分一类。

师:说的非常好,我们通常把只有1和它本身再没有其它因数的数称为质数,除了1和它本身还有其它因数的数称为合数。那么我们有没有做到不重不漏呢?

生1:0给漏掉了。

师:0到底是质数还是合数呢?

生:0可以变成任何数和0相乘,但是又感觉它有点奇怪。

师:对,为了方便,在研究因数和倍数的时候,我们所说的数是自然数,一般不包括0,所以我们暂时不研究它,还有吗?

生:还有1,1和任何数相乘仍得它本身,这个数也比较特殊,但是我不知道它到底是质数还是合数。

师:1确实很特殊,它既不是质数也不是合数。那么一个数肯定是1的倍数,1是所有数的因数。这句话对吗?

生:正确。

师:所有的奇数只有1和它本身两个因数吗?

生1:是的,比如3=1×3,它的因数只有1和3

生2:不对,9也是奇数,但是9的因数除了1和9外,还有3。

师:那我们现在又把自然数怎么分类了?

生:分成了1、质数和合数。

五.学习235倍数特点与判断质数合数有什么关系

师:怎样才能快速识别100以内的质数呢?

生1:老师,我觉得应该先把偶数找出来,因为能被2整除的数字有很多,剩下的数就容易找了。

生2:还可以通过找个位数字是0和5的方法把5的倍数找出来

生3:对,再找3的倍数。

师:这样就可以全部找完了吗?

生们:应该是。

生1:不对,77和91应该还有其它的因数

生2:77的因数除了1和77外,还有7和11

生3:91的因数有1、7、13和91

师:大家有没有发现这两个数都与哪一个数有关系呢?

生们:与7有关系

师:是的,那么剩下的数全部都是质数吗?

孩子们都表示同意

师:为什么我们只研究2、3、5和7的倍数问题,而不去研究其它的数,难道其它数没有规律吗?

生1:老师,我还发现11也有规律,它和任何数相乘的积,百位和个位上的数字相加的和都等于十位上的数字。比如,11×2=22,百位上的0和个位上的2之和等于十位上的数字2;11×23=253,百位上的2和个位上的3之和等于十位上的数字5......我举了很多这样的例子,都符合这个规律。

师:你的发现很重要,这个规律也很神奇。希望大家能在课下继续探索一些其它数的规律。

  自然数的分类到此暂告一段落,其实,这里面还蕴藏着很多奥秘,需要不断挖掘,这段时间他们的探索正浓,希望能挖掘出更多更有价值的东西。

你可能感兴趣的:(因数和倍数)