什么是粗糙集？粗糙集理论简介。

粗糙集理论，是继概率论、模糊集、证据理论之后的有一个处理不确定性的数学工具。于1982年 波兰理工大学Z.pawlak教授提出用来研究不完整数据，不精确知识表达、学习、归纳等的一套理论。

其主要思想是在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则。

从数学的角度看，粗糙集是研究集合的；从编程的角度看，粗糙集的研究对象是矩阵,只不过是一些特殊的矩阵；从人工智能的角度来看，粗糙集研究的是决策表。

基本概念：

论域：也就是数学里面的集合，我们感兴趣的对象组成的集合。（非空）

知识：论域的任何一个子集（包括空集）称为知识，是对论域进行分类的能力。一般由特征属性进行分类。

知识库：是论域中的一个个知识族组成、

不可分辨关系：如果在只是表达中，由于缺乏一定的知识，不能将已知信息系统中的某些对象区分开，那么这些对象之间就是不可分辨关系（等价关系）

比如，若在动物中，以黑白为知识区分，那么黑色的狗和黑色的猫就是不可分辨关系，也就是等价关系。

基本集：论语中互相不可分表的对象组成的集合。

精确集和粗糙集：在某一个知识下，如果论域可以由知识中的一个或者多个子集组合而成，那么就成为精确集，否则就成为粗糙集。

上近似和下近似：上近似是指包含 给定集合 X 元素的 最小可定义集。下近似则是包含于X的最大可定义集。

正域、负域与边界域：接上一条，论域被上下近似划分为三个不相交的区域

知识粒度：论域的划分构成粗糙集的一个近似空间，划分中的每一个分开成为一个知识粒度。在粗糙集中，等价类的力度越细，其划分能力就越强，近似集越精确。否则划分能力就弱，近似集越粗糙。

属性重要度：这个始于分类质量相关的，可以参考底部介绍。

举例

如上图，为一个决策系统，其中 e 的 1-6 就为非空有限对象集，成为论域。用集合表示为：

各列中，头疼、肌肉疼、体温 均为条件属性，流感为决策属性，这些属性所区分出来的子集便是知识。当然也同样可以用集合来表示，比如：

而我们的目的便是挖掘，对决策属性影响大的条件属性。

在这里，我们继续设，在体温这个条件属性下的知识为：

如果 ：

那么

此时，X可以由 X1-3 中的若干个组成，此时 X 就为 体温的精确集。同样，如果

则 X 不能由三个知识点的任何一个或者若干组成，那么此时就是粗糙集。

仍以体温为例

这是，在体温这个属性下有

可以看出，这个属性被划分成了三类，很高、高、正常。

若给定的集合是 X

则，显然 X 是 C 的粗糙集，因为 X 不能被 X1-3 中的任何一个或多个组成。且有如下情况：

此时，也就是

于是有，X1 ,X2 为上近似，X3为下近似。

那么论域可由上下近似划分为三个不相交的区域：

也就是说，正域为下近似，负域为 U – 上近似，边界域为 上近似-下近似

把论域转换为如下形式

同样，在条件属性 C 下

则，C 的知识粒度为：

值越大，表示 D 相对于 C 对论域U 的分类能力越强。

条件属性集合 C 关于决策属性集合 D 的近似分类质量为

假设，B 是属性集合 C 的子集。那么 子集B 关于D 的重要度为。

条件概率：

其中， [X]A 中 A 是指属性集 ，包含x 的等价类。

粗糙集方法具有以下特点：

(1) 它能处理各种数据，包括不完整（incomplete) 的数据以及拥有众多变量的数据；

(2) 它能处理数据的不精确性和模棱两可（ambiguity），包括确定性和非确定性的情况；

(3) 它能求得知识的最小表达（reduct) 和知识的各种不同颗粒（granularity) 层次；

(4) 它能从数据中揭示出概念简单，易于操作的模式（pattern) ;

(5) 它能产生精确而又易于检查和证实的规则，特别适于智能控制中规则的自动生成

参考资料：

1、https://www.jianshu.com/p/a129b7a6be9e

2、论文：基于属性重要度的风险决策粗糙集属性约简