天目春辉

高中奥数 2022-04-01

构造数列

在遇到与有关的不等式时,可以考虑构造辅助数列,并通过数列的性质(如单调性)来证题.

2022-03-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P078 例13）

设,求证:

证明

当时,.

当时,构造数列、、如下:

显然,,,且

故.

将以上个等式相乘,并注意到

则有.

又因为,故,于是

上式中当时,是明显的.

2022-03-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P078 例14）

实数满足,求证:

证明

只需对任意,证明不等式成立即可.

记,则

把上面这个等式相加,并利用,可得

由Cauchy不等式可得
$\begin{aligned} \left(n a_{k}\right)^{2}=&\left((n-k) d_{k}+(n-k-1) d_{k+1}+\cdots+d_{n-1}\right.\\ &\left.-(k-1) d_{k-1}-(k-2) d_{k-2}-\cdots-d_{1}\right)^{2} \\ \leqslant &\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1} i^{2}+\sum\limits_{i=1}^{n-k} i^{2}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1} d_{i}^{2}\right) \\ \leqslant &\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1} i^{2}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1} d_{i}^{2}\right)\\ =&\dfrac{n(n-1)(2 n-1)}{6}\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1} d_{i}^{2}\right) \\ \leqslant & \frac{n^{3}}{3}\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1} d_{i}^{2}\right), \end{aligned}$
所以.

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