高中奥数 2022-04-01

构造数列

在遇到与有关的不等式时,可以考虑构造辅助数列,并通过数列的性质(如单调性)来证题.

2022-03-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P078 例13）

设,求证:

证明

当时,.

当时,构造数列、、如下:



显然,,,且

故.

将以上个等式相乘,并注意到

则有.

又因为,故,于是

上式中当时,是明显的.

2022-03-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P078 例14）

实数满足,求证:

证明

只需对任意,证明不等式成立即可.

记,则



把上面这个等式相加,并利用,可得

由Cauchy不等式可得

所以.