高中奥数 2021-11-24

2021-11-24-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P020 习题1）

设是模为的复数,则函数的最小值( ).

(A)是 (B)是 (C)是 (D)不存在

解

由,可令 ,则复数与向量

$\begin{aligned} f\left(z\right)&=z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}\\ &=z^{2}+\overline{z^{2}}\\ &=\left(\cos 2\theta +\mathrm{i}\sin 2\theta \right)+\left(\cos 2\theta -\mathrm{i}\sin 2\theta \right)\\ &=2\cos 2\theta. \end{aligned}$

故当(或)时,函数有最小值.

2021-11-24-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P020 习题2）

已知,,求复数,.

解

如图,设对应于复数,对应于复数,对应于向量.

\includegraphics{Chapter_008/section_02/001.PNG}

由知,.

所以和都是等边三角形,于是

,或,.

2021-11-24-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P020 习题3）

已知非零复数满足,且 ,求(1)的取值范围;(2)复数的模(用表示);(3)复数的辐角.

\includegraphics{Chapter_008/section_02/002.PNG}

(1)因为,故在复平面上的对应点在以为圆心,半径为的圆上(去除点),如图(1)所示,所以的取值范围是.

\includegraphics{Chapter_008/section_02/002.PNG}

(2)如图(2),在中,因为 ,故.

(3)由于,故可令,于是

$\begin{aligned} z^{2}-z\mathrm{i}&=z\left(z-\mathrm{i}\right)\\ &=2\sin \theta \left(\cos \theta -i\sin \theta \right)\cdot \cdot \cos \varphi +i\sin \theta )\\ &=2\sin \theta \left[\cos \left(\theta +\varphi \right)+\mathrm{i}\cdot \sin \left(\theta +\varphi \right)\right]. \end{aligned}$

又由

$\begin{aligned} \cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi &=z-\mathrm{i}\\ &=2\sin \theta \left(\cos \theta -i\sin \theta\right)-i\\ &=2\sin \theta \cos \theta +\mathrm{i}\left(2\sin ^{2}\theta -1\right)\\ &=\sin 2\theta -\mathrm{i}\cos 2\theta\\ &=\cos \left(2\theta -\dfrac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(2\theta -\dfrac{\pi}{2}\right). \end{aligned}$

所以,.

即.

注对于已知的有关问题,可以从以下四个方面去思考:

(1)令;

(2)令且;

(3)由得,,;

(4)在复平面内的对应点在以原点为圆心、为半径的圆上.

2021-11-24-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P020 习题4）

已知等边的两个顶点坐标是,,求顶点的对应坐标.

记,,的对应复数分别为,,,则由

得

即点坐标是或.

高中奥数 2021-11-24

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