PTA 回溯法
文章目录
一、函数题
1.0/1背包问题 （队列式分枝限界法）
2.0/1背包问题 （优先队列分枝限界法）
二、编程题
1.子集和问题
2.八皇后问题(*)
3.0-1背包
4.工作分配问题
5.德邦国王
6.图着色问题
一、函数题
1.0/1背包问题 （队列式分枝限界法）
0/1背包问题。给定一载重量为m的背包及n个重量为wi、价值为vi的物体，1≤i≤n,要求把物体装入背包，使背包的物体价值最大。
函数接口定义：
void bound(NodeType &e); //算分枝结点e的上界
void EnQueue(NodeType e,queue&qu);//结点e进队qu
void bfs();//求0/1背包的最优解
void bound(NodeType &e) //算分枝结点e的上界
{
int i=e.i+1,sumw=e.w;
double sumv=e.v;
while((sumw+w[i]<=W)&&i<=n)
{
sumw+=w[i],sumv+=v[i];
i++;
}
if(i<=n)e.ub=sumv+(W-sumw)*v[i]/w[i];
else e.ub=sumv;
}
void EnQueue(NodeType e,queue &qu)//结点e进队qu
{
if(e.i==n)
{
if(e.v>maxv)
{
maxv=e.v;
for(int i=1;i<=n;i++)
bestx[i]=e.x[i];
}
}
else qu.push(e);
}
void bfs()//求0/1背包的最优解
{
NodeType e1,e2,e;
e.i=e.w=e.v=0;e.no=total++;
queue qu;
for(int i=1;i<=n;i++)e.x[i]=0;
bound(e);qu.push(e);
while(!qu.empty())
{
e=qu.front();qu.pop();
if(e.w+w[e.i+1]<=W)
{
e1.i=e.i+1;
e1.w=e.w+w[e1.i],e1.v=e.v+v[e1.i];
e1.no=total++;
for(int i=1;i<=n;i++)e1.x[i]=e.x[i];
e1.x[e1.i]=1;
bound(e1);EnQueue(e1,qu);
}
e2=e,e2.i++;
e2.x[e2.i]=0;e2.no=total++;
bound(e2);
if(e2.ub>maxv)EnQueue(e2,qu);
}
}
2.0/1背包问题 （优先队列分枝限界法）
0/1背包问题。给定一载重量为m的背包及n个重量为wi、价值为vi的物体，1≤i≤n,要求把物体装入背包，使背包的物体价值最大。
函数接口定义：
void bound(NodeType &e); //计算分枝结点e的上界
void EnQueue(NodeType e,priority_queue&qu); //结点e进队qu
void bfs(); //求0/1背包的最优解
void bound(NodeType &e) //算分枝结点e的上界
{
int i=e.i+1,sumw=e.w;
double sumv=e.v;
while((sumw+w[i]<=W)&&i<=n)
{
sumw+=w[i],sumv+=v[i];
i++;
}
if(i<=n)e.ub=sumv+(W-sumw)*v[i]/w[i];
else e.ub=sumv;
}
void EnQueue(NodeType e,priority_queue &qu) //结点e进队qu
{
if(e.i==n)
{
if(e.v>maxv)
{
maxv=e.v;
for(int i=1;i<=n;i++)
bestx[i]=e.x[i];
}
}
else qu.push(e);
}
void bfs()//求0/1背包的最优解
{
NodeType e1,e2,e;
e.i=e.w=e.v=0;e.no=total++;
priority_queue qu;
for(int i=1;i<=n;i++)e.x[i]=0;
bound(e);qu.push(e);
while(!qu.empty())
{
e=qu.top();qu.pop();
if(e.w+w[e.i+1]<=W)
{
e1.i=e.i+1;
e1.w=e.w+w[e1.i],e1.v=e.v+v[e1.i];
e1.no=total++;
for(int i=1;i<=n;i++)e1.x[i]=e.x[i];
e1.x[e1.i]=1;
bound(e1);EnQueue(e1,qu);
}
e2=e,e2.i++;
e2.x[e2.i]=0;e2.no=total++;
bound(e2);
if(e2.ub>maxv)EnQueue(e2,qu);
}
}
二、编程题
1.子集和问题
设集合S={x1,x2,…,xn}是一个正整数集合，c是一个正整数，子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使S1中的元素之和为c。试设计一个解子集和问题的回溯法，并输出利用回溯法在搜索树（按输入顺序建立）中找到的第一个解。
输入格式:
输入数据第1行有2个正整数n和c，n表示S的大小，c是子集和的目标值。接下来的1行中，有n个正整数，表示集合S中的元素。
是子集和的目标值。接下来的1 行中，有n个正整数，表示集合S中的元素。
输出格式:
输出利用回溯法找到的第一个解，以空格分隔，最后一个输出的后面有空格。当问题无解时，输出“No Solution!”。
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,c,sum,all;
bool st[N];
int a[N];
vector v,res;
void dfs(int u)
{
if(u==n)
{cout<<"No Solution!";return;}
if(sum==c)
{
for(auto x:v)res.push_back(x);
return ;
}
for(int i=0;i>n>>c;
for(int i=0;i>a[i],all+=a[i];
if(all 2.八皇后问题(*)
在国际象棋中，皇后是最厉害的棋子，可以横走、直走，还可以斜走。棋手马克斯·贝瑟尔 1848 年提出著名的八皇后问题：即在 8 × 8 的棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击 —— 即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一条斜线上。例如：
|
|
现在我们把棋盘扩展到 n×n 的棋盘上摆放 n 个皇后，请问该怎么摆？
请编写程序，输入正整数 n，输出全部摆法（棋盘格子空白处显示句点“.”，皇后处显示字母“Q”，每两个字符之间空一格）。
输入格式:
正整数 n(n>0)
输出格式:
若问题有解，则输出全部摆法（每两种摆法之间空一行）。
若问题无解，则输出 None。
要求：试探的顺序按从上到下逐行进行，其中每一行按从左到右的逐格进行，请参看输出样例2。
#include
using namespace std;
const int N=20;
int n;
char x[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];
bool flag=false;
void dfs(int u)
{
if(u==n)
{
if(flag)cout<>n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n; j ++ )
x[i][j] = '.';
dfs(0);
if(!flag)cout<<"None";
return 0;
}
3.0-1背包
给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100)，价值为vi(vi<=100)，背包的容量为C(C<=1000)。
应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择：装入或不装入。不能将物品i装入多次，也不能只装入部分物品i。
输入格式:
共有n+1行输入：
第一行为n值和c值，表示n件物品和背包容量c；
接下来的n行，每行有两个数据，分别表示第i(1≤i≤n)件物品的重量和价值。
输出格式:
输出装入背包中物品的最大总价值。
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int w[N],v[N],f[N];
int main()
{
int n,c;cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>v[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=c;j>=w[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
}
}
cout< 4.工作分配问题
设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为cij 。 设计一个算法，对于给定的工作费用，为每一个人都分配1 件不同的工作，并使总费用达到最小。
输入格式:
输入数据的第一行有1 个正整数n (1≤n≤20)。接下来的n行，每行n个数，表示工作费用。
输出格式:
将计算出的最小总费用输出到屏幕。
#include
using namespace std;
const int N=20;
int a[N][N];
bool st[N];
vector v;
int n,res,ans=0x3f3f3f3f;
void dfs(int u)
{
if(u==n)
{ans=min(ans,res);return ;}
for(int i=0;i>n;
for(int i=0;i>a[i][j];
dfs(0);
cout< 5.德邦国王
在遥远的德邦草原，有一个古老的国度。
这里的国王有一种特殊的能力，他可以在限定次数内互换自己和某些子民的位置
现在国王需要让自己的子民排列成一个整齐的方阵接受检阅，但是他们的动作太慢了
于是国王决定用自己的能力来完成剩余的排列，从而将自己的子民排列
成能让他满意的样子。
请你帮忙计算国王最少需要瞬间移动多少次，才能将方阵变成他想要的样子。
注意国王不得移动出方阵，国王的瞬间移动方式将由输入数据给出。
输入格式:
N K M分别表示矩阵的大小、国王的瞬移方法数量和国王的瞬间移动限定次数
接下来 K 行 Xi Yi 表示国王可以让自己和 （X + Xi， Y + Yi）上的子民位置互换
其中 X Y 表示国王当前的位置
接下来 N 行为一个矩阵，表示当前的矩阵排列
接下来 N 行为一个矩阵，表示能让国王满意的矩阵排列
矩阵仅由（0， 1， 2）组成，其中 0 表示女性子民，1 表示男性子民， 2 表示国王
1 <= N <= 5
1 <= K <= 8
1 <= M <= 15
输出格式:
如果国王可以在限定次数内将矩阵变成他喜欢的样子，请你输出最小次数
反之，请你输出 -1
#include
using namespace std;
const int N=100;
int a[N],b[N],f1[N][N],f2[N][N];
int n,k,m,X,Y;
int ans=0x3f3f3f3f;
void dfs(int x,int y,int u)
{
int s=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(f1[i][j]!=f2[i][j])s++;
if(s==0){ans=min(ans,u);return ;}
if(u>ans)return ;
if(s>m-u)return ;
for(int i=0;i0&&dx<=n&&dy>0&&dy<=n)
{
swap(f1[x][y],f1[dx][dy]);
dfs(dx,dy,u+1);
swap(f1[x][y],f1[dx][dy]);
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>k>>m;
for(int i=0;i>a[i]>>b[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
cin>>f1[i][j];
if(f1[i][j]==2)
X=i,Y=j;
}
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>f2[i][j];
dfs(X,Y,0);
if(ans>m)cout<<-1;
else cout< 6.图着色问题
图着色问题是一个著名的NP完全问题。给定无向图G=(V,E)，问可否用K种颜色为V中的每一个顶点分配一种颜色，使得不会有两个相邻顶点具有同一种颜色？
但本题并不是要你解决这个着色问题，而是对给定的一种颜色分配，请你判断这是否是图着色问题的一个解。
输入格式：
输入在第一行给出3个整数V（0 对每种颜色分配方案，如果是图着色问题的一个解则输出输出格式：
Yes，否则输出No，每句占一行。#include