23.8.7 牛客暑期多校7部分题解

G - Cyperation

题目大意

有 $n$ 个数，定义 $i,j(i<j)$ 两个数的距离为 $min(j-i,n+i-j)$，每次操作可以选择距离恰好为 $k$ 的两个数减 $1$，问能否使此数列全部变为 $0$

解题思路

原来的数列全为 $0$ 则不用操作，此外，如果 $k>\frac{n}{2}$ 则无法操作

在剩余情况中，可以把每 $k$ 个数取出来形成新环（可能不止一个环），在新环上就是相邻的数操作了

设新的数列为 $\{b_i\}$，设 $b_1,b_2$ 减了 $x_1$，$b_2,b_3$ 减了 $x_2$…$b_{m-1},b_m$ 减了 $x_{m-1}$，$b_m,b_1$ 减了 $x_m$

所以 $b_1=x_m+x_1,b_2=x_1+x_2,b_3=x_2+x_3$…$b_m=x_{m-1}+x_m$

这样就可以用 $x_1$ 和 $b_i$ 表示所有 $x_i$，根据 $x_i\ge 0$ 求出是否有 $x_1$ 满足条件即可

注意思考一些特殊条件即可

code

#include 
using namespace std;
const int N = 1e6 + 9;
int t, n, k, v[N], num, q[N], fl;
long long a[N], ma;
int main() {
    scanf("%d", &t);
    while (t --) {
        scanf("%d%d", &n, &k); ma = fl = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++ i)
            scanf("%lld", &a[i]), ma = max(a[i], ma);
        if (ma == 0) {printf("YES\n"); continue;}
        if (k > n / 2) {printf("NO\n"); continue;}
        for (int i = 0; i < n; ++ i) v[i] = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            if (v[i]) continue;
            num = 0; q[++ num] = i; v[i] = 1;
            for (int j = (i + k) % n; j != i; j = (j + k) % n)
                q[++ num] = j, v[j] = 1;
            long long cnt = 0, tmp = 1, l = 0, r = 1e9;
            for (int j = 2; j <= num; ++ j) {
                cnt = -cnt; tmp = -tmp; cnt += a[q[j]];
                if (tmp == 1) l = max(l, -cnt);
                else r = min(r, cnt);
            }
            if (tmp == 1) {
                if ((a[q[1]] - cnt) % 2 != 0) {fl = 1; break;}
                long long ans = (a[q[1]] - cnt) / 2;
                if (ans < l || ans > r || l > r) {fl = 1; break;}
            } else if (cnt != a[q[1]] || l > r) {fl = 1; break;}
        }
        if (fl) printf("NO\n");
        else printf("YES\n");
    }
    return 0;
}