第五章 树与二叉树

一、数据结构定义

1. 二叉树的顺序存储结构（要注意两点：每个节点要标记是否为空；数组下标隐含节点关系）

   typedef struct TreeNode{
   	int data;
   	bool isEmpty;
   } TreeNode;
   
   // 初始化顺序存储的二叉树，所有节点标记为空
   void InitSqBiTree(TreeNode t[], int length){
   	for (int i=0; i<length; i++){
   		t[i].isEmpty = true;
   	}
   }
   
   int main(){
   	TreeNode t[100]; // 定义一棵顺序存储的二叉树
   	InitSqBiTree(t, 100); //初始化为空树
   	...
   }
   

2. 二叉树的链式存储结构（即二叉链表）（因为有两个指针所以是二叉链表，如果再加一个指向父节点的指针就是三叉链表）

   typedef struct BTNode{ // BT即Binary Tree，二叉树
   	int val;
   	struct BTNode *left, *right;
   } BTNode, *BTree;
   

3. 线索二叉树的存储结构

   typedef struct ThreadBTNode{ // 线索二叉树
   	int val;
   	struct ThreadBTNode *left, *right;
   	bool ltag, rtag; // ltag和rtag为0表示有孩子，为1表示无孩子指向前驱/后继
   } ThreadBTNode, *ThreadBTree;
   

4. 树的存储结构（不是上面说的二叉树，是可能有多个孩子的树）
   • 双亲表示法（节点仅保存其父节点信息，通过一个节点只能很快找到它的祖先。因此需要通过数组保存所有节点，才能实现对其遍历等操作，且效率较低，所以双亲表示法一般仅用在特殊场合，如并查集）
     

     typedef struct{
     	ElemType data;
     	int parent; // 存储其父节点在数组中存储的位置下标
     } PTNode;
     
     typedef struct{
     	PTNode *nodes;
     	int n;
     } PTree;
     

   • 孩子表示法（用一个数组存储所有节点，每个节点内存一个链表节点指针，指向其第一个孩子。链表节点内部保存两个域：孩子的下标和指向下一个孩子对应的链表节点的指针。孩子表示法可以很快找到所有孩子节点，但寻找双亲时必须遍历整棵树，效率较低）
     

     typedef struct Child{
     	int index; // 存储该孩子节点在数组中存储的位置下标
     	struct Child *next;
     } Child;
     
     typedef struct{
     	ElemType data;
     	Child *firstChild;
     } TreeNode; 
     
     typedef struct{
     	TreeNode *nodes;
     	int n;
     } CTree;
     

   • 孩子兄弟表示法
     • 可通过节点的左指针找到节点的第一个孩子，沿孩子的右指针可以找到该节点的所有孩子。孩子表示法中有组成树本身的节点和孩子链表节点共两种节点，孩子兄弟表示法通过两个指针，将孩子表示法中两种节点合为一种
     • 因为是两个指针，所以孩子兄弟表示法的树是以二叉链表作为存储结构的

     typedef struct CSNode{
     	ElemType data;
     	struct CSNode *firstChild, *nextSibling;
     } CSNode, *CSTree;
     

5. 二叉排序树节点定义（与普通二叉树一致）

   typedef struct BSTNode{
   	int val;
   	struct BSTNode *left, *right;
   } BSTNode, *BSTree;
   

6. 并查集的实现（初始化+查+并）

   // 初始化
   const int MAX_SIZE = 100; // 假设并查集的最大元素个数
   int parent[MAX_SIZE]; // 用于存储每个元素的父节点
   void Initial(){
   	for(int i=0; i<MAX_SIZE; i++)
   		parent[i] = -1;
   }
   
   // 查
   int Find(int x){
   	while(parent[x]>=0)
   		x = parent[x];
   	return x;
   
   // 并
   void Union(int x, int y){
   	int RootX = Find(x);
   	int RootY = Find(y);
   	
   	if (RootX!=RootY)
   		parent[RootX] = RootY;
   }
   

二、代码/算法

1. 二叉树的基础算法
   • 查找节点
   • 删除二叉树
   • 输出树高
   • 统计二叉树节点数目
   • 判断是否是平衡二叉树
2. 二叉树的遍历
   • 先序遍历
   • 中序遍历
   • 后序遍历
   • 三种遍历的非递归转换（ACE中未提到）
   • Morris遍历算法（只有竟成提到了）
   • 层序遍历（ACE：层序遍历需要用到队列，408中要求写代码的可能性比较小，所以这里的重点是层序遍历的过程）
3. 由遍历序列构造二叉树（只有ACE给出了用前序+中序构造二叉树的代码）
   • 前序+中序
   • 后序+中序
   • 层序+中序
4. 线索二叉树（408考纲是“线索二叉树的基本概念与构造”，没有提及遍历，可酌情观看）
   • 通过中序遍历构造线索二叉树
   • 中序线索二叉树的遍历
   • 先序和后续线索二叉树的构造
   • 先序线索二叉树的遍历
   • 后续线索二叉树的遍历
5. 并查集的初始化、查、并（代码写在上面的数据结构定义中）
6. 二叉排序树
   • 查找
   • 构建与插入
   • 删除
7. 平衡二叉树（代码难度较高，初试可以不用管，机试有小概率会考）