高中奥数 2021-08-31

2021-08-31-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P032 例9）

如图,圆、圆分别是的外接圆和内切圆,圆半径为,圆半径为,圆分别切、、于点、、,若为的重心,试求的值(其中).

图1

解

取的垂心,设、、分别交于、、.

则.

同理.

故为的内心.

注意到是的中心,则.

又,所以.

同理,,所以.

而、分别是的外心和内心,、分别是的外心和内心.

所以,为与的相似比.

又,则.

又、为与中的对应线段.

则与所成的角等于与所成的角,则、、共线.

又由欧拉定理知中,、、分别为外心、重心和垂心.

所以,.

从而.

故,得证.

2021-08-31-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P032 例10）

如图,锐角中,,上的点与上的点满足,,交于.求证:.

图2

证明

设、、、分别为垂心、内心、外心、重心.

注意到、、三点共线且.

故我们只需证、、共线且.

取中点,中点,延长交于.

设,,,则由条件易知

,.

由角平分线性质定理知及

.

则.

所以,同理.

结合,故与对应边均平行.

故两三角形位似,位似中心为与交点,位似比为.

故、、三点共线且.

结合前面的讨论知原命题成立.