【数学】高等数学中连续、可导、极限概念的随想

对大学高等数据中的连续、可导、极限这些概念发散的思考和没有根据的猜想。欢迎指正。

1 想法由来

数学十分抽象,但是如果能具象化就方便理解。下文可能毫无科学根据,也不够严谨,但将这些概念转为图形的态势研究,非常形象,便于记忆。

2 概念的形象化

2.1 函数

函数一词,计算机语言中也存在。含义类似,将 因 处理成 果。

数学里的函数,不严谨的说,都可以对应到坐标系图形上。

2.2 连续

函数的连续,可以想象成 一段连续的曲线,没有中断,也没有缺失的点。

【数学】高等数学中连续、可导、极限概念的随想_第1张图片

2.3 可导

可导则是 连续且光滑 的曲线。三维则是 连续且光滑的曲面。

可导比连续约束更强,范围更小。

比如上图中的3个图形

图1是光滑曲线。

图2是有尖角,感觉很危险。

图3是有棱角,感觉很锋利。

所以,图形1 是 可导 的,图形2 和 3则不是 可导 的。

个人揣测:可导是物理学家们在研究现实生活中的各种真实图形(连续且光滑)时,从大而全、包罗万象却大部分都不实用的函数中,创造出的筛漏,筛掉那些在现实生活中毫无意义的函数,只保留连续光滑的函数,并且把这个性质命名为可导。

如何召唤一个魔鬼,你必须给它起个名字。

有了可导这个名字,物理学家们就可以马上把研究范围限定在自己熟悉的范围内。

2.4 极限

极限是对函数图形的 惯性 的数学描述。

这里的惯性就是物理学中 运动的惯性。

如果一个物体不受到任何作用力的情况下,会保持惯性,一直以初速度匀速运动下去。

同样的,函数图形的延伸也会有个“惯性”,就是数学里的 极限。

函数图形的“惯性”就是函数的极限。

图形1中,处处光滑,惯性一致。

图形2中,明显有个大力度转向的地方,感觉受力被迫改变了其曲线延伸的惯性。如果保持惯性,在最尖点处的下一个点就会和当前图形的下一个点 完全不同。所以其左右极限完全不同。

图形3中,类似的,出现2个直角,惯性被外力强制改变。如果没有外力,应该是横直的一条直线。在两个拐角处,其拐角两端的极限也是各不相同,因为其图形“惯性”方向与实际图形方向并不相同。

3. 总结

可导,可想象为连续光滑的完美曲线,而其总是连续的。

但连续的曲线,如果出现尖角,则是不可导的可怕曲线。

可微则是可导的另一种表达方式,就像一本书的英译和德译。

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