Knight840
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2023牛客暑期多校-J-Qu‘est-ce Que C‘est?（DP)

题意：

给定长度为n的数列{a}_{i=1}^{n},要求每个数都在[-m,m]的范围，且任意长度大于等于2的区间和都大于等于0，问方案数。1\leq n,m\leq 5\times 10_{}^{3}。

思路：

首先要看出是dp题，dp[i][x]用来表示遍历到第i位且后缀和最小为x的可行方案数（此时的后缀可以只有最后一位）。很显然j的值在区间[-m,m]。下面考虑dp如何转换：

        1.对于x\epsilon [0,m]。 先讨论dp[i][0]，dp[i][0]可由dp[i-1][j],j< 0加一位值为 -j 转换而来；也可由dp[i-1][j],j>=0加一位值为0 转换而来。就有dp[i][0]=\sum_{j=-m}^{m} dp[i-1][j]。再讨论dp[i][1]，可由dp[i-1][j],j<0,1-j\leq m，加一位值为 1-j 转换而来；也可由 dp[i-1][j],j>=0加一位值为1转换而来。例如m=5时,dp[2][3]可以由dp[1][-2]然后末尾添加5转换来。就有dp[i][1]=\sum_{j=1-m}^{m} dp[i-1][j]。依次讨论可以得出dp[i][x]可以由dp[i-1][j],j< 0,x-j<=m,末位加值为x-j转换而来；也可由dp[i-1][j],j>=0，末位加x转换而来。综上所诉：dp[i][x]=\sum_{j=x-m}^{m} dp[i-1][j]

        2.对于x\epsilon [-m,0)。可以去验证，只有dp[i-1][j],j>=-x,末位加值为x才能转换成dp[i][x]。例如m=5时,dp[2][-3]可以由dp[1][3]然后末尾添加-3转换来。所以dp[i][x]=\sum_{j=-x}^{m}dp[i-1][j]。

为了方便计算我们把[-m,m]这个区间平移映射到[0,2m]区间上。按照上述思想去找新的dp转换式就有：

dp[i][x]=\sum_{j=x-m}^{2m}dp[i-1][j],x\varepsilon [m,2m]

dp[i][x]=\sum_{j=2m-x}^{2m}dp[i-1][j],x\epsilon [0,m)

由于都是求和到2m，所以可以考虑后缀和优化。

代码：

//#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
//#include
//#include
//#include
//#include
//#include
//#include
//#include
//#include<__msvc_all_public_headers.hpp>
#include
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 998244353;
const int N = 5005;
ll dp[N][N*2];//dp[i][j]表示遍历到i位，后缀和最小为j且合法的数量。（这里后缀和包含了只含有最后一位的情况）
ll sum[N * 2];//后缀数组
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	ll ans = 0;
	//初始化
	for (int i = 0; i <= m*2; i++)
	{
		dp[1][i] = 1;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		//处理后缀和
		for (int j = m * 2; j >= 0; j--)sum[j] = (sum[j + 1] + dp[i - 1][j]) % mod;
		//[0,m）的情况
		for (int j = 0; j < m; j++)
		{
			dp[i][j] = sum[2 * m - j];
		}
		//[m,2m]的情况
		for (int j = m; j <= 2 * m; j++)
		{
			dp[i][j] = sum[j - m];
		}
	}
	//统计
	for (int i = 0; i <= m * 2; i++)
	{
		ans = (ans + dp[n][i]) % mod;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

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