【数学建模算法】(19)排队论：多服务台模型（M/M/s/∞）

设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为的负指数分布，系统中共有个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

下面来讨论这个排队系统的平稳分布。记为系统到达平衡状态后队长的概率分布，注意到对个数为的多服务台系统，有

和

记，则当时，由之前的结论，相似地，有：
$C_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{(\lambda / \mu)^{n}}{n !},} & {n=1,2, \cdots, s} \\ {\frac{(\lambda / \mu)^{s}}{s !}\left(\frac{\lambda}{s \mu}\right)^{n}} & {=\frac{(\lambda / \mu)^{n}}{s ! s^{n-s}}, \quad n \geq s}\end{array}\right.（1）$
故：

其中：

式（1）和（2）给出了在平衡条件下系统中顾客为的概率，当时，即系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记：

式（4）称为Erlang等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。
对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长为：

或

记系统中正在接受服务的顾客的平均数为，显然也是正在忙的服务台的平均数，故：

这说明，正在忙的服务台个数不依赖于服务台个数，这是一个有趣的结果，可得平均队长为：
平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数

对于多服务台系统，前面说的Little公式仍然成立，既有：

例1 某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为；服务（售票）时间俯冲负指数分布，平均服务率。现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票。

这一排队系统可看成是系统，其中

由多服务台等待制系统的有关公式，可得到：
（1）整个售票处空闲的概率

（2）平均排队长

平均队长：

（3）平均等待时间

平均逗留时间

在本例中，如果顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队，且入队后不再换队，即可形成 3 个队列。这时，原来的系统实际上变成了由 3 个子系统组成的排队系统，且每个系统的平均到达率为：

下表给出了和三个

项目		3个
空闲的概率	0.0748	0.25（每个子系统）
顾客必须等待的概率	0.57	0.75
平均队长	3.95	9（整个系统）
平均排队长	1.70	2.25（每个子系统）
平均逗留时间	4.39(min)	10(min)
平均等待时间	1.89	7.5(min)

求解该问题的LINGO程序如下：

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

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