图论学习--8 有向图（思维导图）强连通算法

有向图

概念

相较无向图，有向图的边具有方向性

• 头，尾

重边的概念到有向图中变成了平行边，要注意这里是要同头同尾的

有向图中，没有自环和平行边，则称图为简单有向图

基础图

• 有向图，去掉方向得到的无向图

定向图

• 无向图，加上方向得到的有向图

入度，出度，还有度的概念

有向图的矩阵表示

• 邻接矩阵

  • 点作为起点，才算数，终点是不计算值的

• 关联矩阵

  • 行是点，列是边，边关联点，出是正1，入是-1

连通性

单向连通

• (u,v)，u可达v

强连通(双向连通)

• u可达v，v可达u

弱连通图

• 基础图是连通的

单向连通图

• 任意两点是单向连通的

强连通图

• 任意两点是双向连通的

定理1：有向图是强连通的，当且仅当D中存在包含D中所有顶点的回路

强连通分支

• 极大强连通真子图

  • 来寻找时，可以先将那些只入不出和只出不入的点排除，然后找一些简单的圈，然后可以将圈直接看成是一个点，因为它们内部是相互可达的

    • 先将只出不入或只入不出的给排除掉

      • 所谓排除，就是单独作为一个强连通分支

    • 然后找圈

    • 将圈看成是一个点
    • 总之，一个图有多个强连通分支，但是极大只有一个

  • 单向连通分支

    • 寻找单向连通分支时，便可以在强连通分支的基础上加入和强连通分支有关的点们，如此便可

强连通定向算法

存在性问题：非平凡连通图G具有强连通定向当且仅当G是2边连通的

• 即边连通度≥2，即无割边
• 挺好理解的

算法流程

• 从任意一个顶点出发，然后标号，从1开始标号，任意选择一条边，然后将那个顶点标成2，然后如此进行，迭代的过程是找标号的最大点，然后看其有没有未标号的邻接点，若有，则给那个点标号+1，若无，再找次小点，直到所有点都标完号
• 定向图的方向即，在标号的过程中，每标一个点，画一个方向，从标号小的指向标号大的；而当所有的点标号完毕，则剩下没画方向的边，反过来，按照从大到小的方向来画方向

有向圈的性质

定理5：D是有向图

• 若D中任意v均有其出度>0(或入度>0)，则其中存在有向圈
• 若其中出度全为1(或入度全为1)，则D中存在唯一圈

定理6：D中存在欧拉环游，当且仅当D连通且每个点的出度和入度相等

• 存在欧垃迹，当且仅当D连通且除了两个点外，每个点的出度等于入度，而那两个点，一个入度比出度大于1，一个反过来

循环比赛，队与队之间都要进行比赛，胜利则是有向边，竞赛图即为完全图的一种定向图

• 竞赛图中存在有向H路