[足式机器人]Part3机构运动微分几何学分析与综合Ch02-4 平面机构离散运动鞍点综合——【读书笔记】
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本文参考：
《机构运动微分几何学分析与综合》-王德伦、汪伟
《微分几何》吴大任
Ch02-4 平面机构离散运动鞍点综合
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- 2.5 平面四杆机构离散运动鞍点综合
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- 2.5.1 平面机构的运动综合类型
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- 2.5.1.1 高阶运动综合
- 2.5.1.2 离散位置综合
- 2.5.1.3 函数综合
- 2.5.1.4 轨迹综合
2.5 平面四杆机构离散运动鞍点综合
平面连杆机构运动综合，就是给定两刚体的相对运动，在运动刚体上确定一些特殊点，其在固定坐标系中的轨迹为开式链机构（或连架杆）的约束曲线——圆或直线，将这些特殊点作为运动副中心点或线，形成连杆机构的类型和尺寸。连杆机构运动综合根据给定两刚体的相对运动要求类型，又可分为刚体导引或位置综合、两个连架杆对应位置函数综合、连杆上点的轨迹综合三类。当然，这三者也可以通过坐标变换及辅助机构实现相互转化。给定两刚体的相对运动有连续的和离散的，对应机构连续运动综合和机构离散运动综合；由于连续运动综合难度过大，较少应用，机构运动综合通常指离散运动综合。离散运动综合又分为精确综合和近似综合；传统的有限分离位置运动几何学为精确综合提供理论依据，而传统的近似综合，或优化综合，由于解的存在性和算法收敛性缺少足够的理论支持，往往只能限于个别问题个别对待。
2.5.1 平面机构的运动综合类型
由于平面连杆机构的特殊性，连架杆所对应的二副杆只有三种：R-R、P-R或者R-P，连架杆所约束的连杆点与直线在机架坐标系中的轨迹分别对应约束曲线圆、直线和直线族包络圆。由第1章点和直线的运动几何学可知，R-P二副杆可以视为P-R二副杆的倒置（inverted），即在运动综合中，二副杆R-R、P-R约束曲线对应的连杆上特征点分别称为圆点与滑点，而二副杆R-P对应连杆上特征直线称为约束线，并可视为固定机架上滑点的倒置。因此，平面机构运动综合也就是在运动刚体或者固定刚体上寻求圆点和滑点。
一般而言，以连杆位置综合问题具有代表性。由于机械工程实际的复杂性，对机构综合的要求不仅仅局限在位置、轨迹和函数问题，更多涉及各个构件运动几何空间范围大小、运动特性、运动副与构件受力状况等因素与性能指标，机构综合为机械工程创新设计提供了新原理、新方法与优良性能参数，并在实际中推广应用。往往并不在于机构综合理论与方法本身，而是如何把工程实际问题进行提炼并转化为机构综合问题，这是目前的瓶颈所在，也是机构学可持续研究的课题。但对本书而言，仅限于讨论机构运动综合问题，更宽、更接近工程实际的研究内容与方法在作者的后续书中将介绍，并给出相应的案例。
机构运动综合根据给定运动要求的性质又可分为连续及高阶连续运动综合、少位置精确综合、多位置近似运动综合等，下面分别阐述。
2.5.1.1 高阶运动综合
对于给定两个构件之间相对运动及其高阶连续要求，如连杆连续运动位置、连杆点连续轨迹、两连架杆连续对应函数，高阶连续是指该运动函数具有二阶以上可微分，或局部更高阶可微分，并以此确定连杆机构的类型与尺度。
刚体连续运动位置综合相当于已知刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*运动坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}相对固定机架上坐标系 { O f , i ⃗ f , j ⃗ f } \{{{O}_{f}},{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {Of,if,jf}的运动，或运动刚体坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}的坐标原点 O m {{O}_{m}} Om在固定机架上坐标系 { O f , i ⃗ f , j ⃗ f } \{{{O}_{f}},{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {Of,if,jf}中的连续轨迹曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm，以及标矢 i ⃗ m {{{\vec{i}}}_{m}} im在固定坐标系 { O f , i ⃗ f , j ⃗ f } \{{{O}_{f}},{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {Of,if,jf}中方向角 γ \gamma γ的连续函数∶
R ⃗ O m ( s ) = x O m ( s ) i ⃗ f + y O m ( s ) j ⃗ f , γ = γ ( s ) {{{\vec{R}}}_{Om}}(s)={{x}_{Om}}(s){{{\vec{i}}}_{f}}+{{y}_{Om}}(s){{{\vec{j}}}_{f}},\gamma =\gamma (s) ROm(s)=xOm(s)if+yOm(s)jf,γ=γ(s)
式中 s s s为轨迹曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm的弧长参数。用解析方法求解出实现该运动的连杆机构应该说是一种理想追求，理应按照给定刚体运动性质所对应的连杆运动用简单的连杆机构来实现。例如，运动刚体上存在两个圆点的全铰链四杆机构，运动刚体上存在一个圆点和一个滑点的曲柄滑块机构，运动刚体上存在一个圆点以及固定刚体上存在一个滑点的曲柄摇块机构。但实际上迄今并没有研究清楚各种类型连杆机构能呈现什么样的具体运动，或者说，用什么样的连杆机构能够实现什么样的给定刚体运动尚缺少理论依据。
S.Roberts（1871）曾以两条分别为 n a {{n}_{a}} na和 n b {{n}_{b}} nb阶的代数曲线 Γ a {{\Gamma }_{a}} Γa和 Γ b {{\Gamma }_{b}} Γb作导向曲线，下图所示。
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运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*上两点 A A A和 B B B分别沿两个导向曲线 Γ a {{\Gamma }_{a}} Γa和 Γ b {{\Gamma }_{b}} Γb滑动，那么，运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*作平面运动时，其上点 C C C在固定平面上的运动轨迹是一曲线 Γ c {{\Gamma }_{c}} Γc（滑动曲线），其阶数不高于 2 n a n b 2{{n}_{a}}{{n}_{b}} 2nanb。对于常见的全铰链四杆机构，其导向曲线都是圆，即二次代数曲线，那么，连杆曲线是六次代数曲线；而曲柄滑块机构连杆曲线则是四次代数曲线；对于含双滑块的椭圆机构上的连杆曲线自然就只是二次代数曲线 了。因此，连杆机构（含简单四杆机构）的运动类型特征、范围与尺度的映射性质还有待研究，从而为机构运动综合解的存在性提供理论基础。
采用第1章中的相伴运动方法，在固定机架坐标系 { O f , i ⃗ f , j ⃗ f } \{{{O}_{f}},{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {Of,if,jf}中，以运动刚体坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}原点 O m {{O}_{m}} Om的轨迹曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm为原曲线，考察运动刚体上的点 P P P在固定坐标系中的轨迹曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP，把 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP作为原曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm的相伴曲线来建立机构运动综合解析模型。犹如S.Roberts 以一条滑动导向曲线 Γ a {{\Gamma }_{a}} Γa为原曲线，运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*沿导向曲线 Γ a {{\Gamma }_{a}} Γa滑动和相对曲线 Γ a {{\Gamma }_{a}} Γa上 A A A点转动，那么，运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*的运动完全确定。而另一条滑动导向曲线 Γ b {{\Gamma }_{b}} Γb是原曲线 Γ a {{\Gamma }_{a}} Γa的相伴曲线，特殊地，相伴曲线 Γ b {{\Gamma }_{b}} Γb也是圆，那么 B B B点在刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*上是否存在？倘若存在，其位置在何处？
对于运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}中直角坐标为 ( x P m , y P m ) ({{x}_{Pm}},{{y}_{Pm}}) (xPm,yPm)的点 P P P，其在固定坐标系中的矢量方程可确定为∶
R ⃗ P = R ⃗ O m + ( x P m cos γ − y P m sin γ ) i ⃗ f + ( x P m sin γ + y P m cos γ ) j ⃗ f {{{\vec{R}}}_{P}}={{{\vec{R}}}_{Om}}+({{x}_{Pm}}\cos \gamma -{{y}_{Pm}}\sin \gamma ){{{\vec{i}}}_{f}}+({{x}_{Pm}}\sin \gamma +{{y}_{Pm}}\cos \gamma ){{{\vec{j}}}_{f}} RP=ROm+(xPmcosγ−yPmsinγ)if+(xPmsinγ+yPmcosγ)jf
将上式对原曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm孤长参数 s s s连续求导，应用第1章中式（1.74c）可得到 P P P点轨迹曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP的相对曲率 k p {{k}_{p}} kp为∶
{ k p = F G F = ( x P m − a ) 2 + ( y P m − b ) 2 − D 4 G = [ ( x P m + sin θ k O m − θ ˙ ) 2 + ( y P m − cos θ k O m − θ ˙ ) 2 ] 3 2 \left\{ \begin{matrix} {{k}_{p}}=\frac{F}{G} \\ F={{({{x}_{Pm}}-a)}^{2}}+{{({{y}_{Pm}}-b)}^{2}}-\frac{D}{4} \\ G={{[{{({{x}_{Pm}}+\frac{\sin \theta }{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }})}^{2}}+{{({{y}_{Pm}}-\frac{\cos \theta }{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }})}^{2}}]}^{\frac{3}{2}}} \\ \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧kp=GFF=(xPm−a)2+(yPm−b)2−4DG=[(xPm+kOm−θ˙sinθ)2+(yPm−kOm−θ˙cosθ)2]23
式中， k O m {{k}_{Om}} kOm为原曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm的相对曲率， θ \theta θ为原曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm上Frenet标架 { R ⃗ O m ; α ⃗ , β ⃗ } \{{{{\vec{R}}}_{Om}};\vec{\alpha },\vec{\beta }\} {ROm;α,β}中标矢 α ⃗ {\vec{\alpha }} α在运动坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}中的方向角， a a a， b b b 见公式（1.74c）， D = 1 / k ∗ D=1/k* D=1/k∗。那么，在运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*运动过程中，运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*上是否存在这样的特征点，其在固定坐标系下的轨迹曲线 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP的相对曲率 k p {{k}_{p}} kp，具有 k p ≡ 常数 {{k}_{p}}\equiv常数 kp≡常数 或 k p ≡ 0 {{k}_{p}}\equiv0 kp≡0，也就是使上式相对曲率 Γ P {{\Gamma }_{P}} ΓP 恒等于常数或零，从而确定出运动刚体上的圆点和滑点。
显然，瞬时成立或更高阶导数为零在第1章已经论述，得到了瞬时连杆平面上的拐点圆、曲率驻点、Ball点、Burmester点和Ball-Burmester点等；而对于所有位置 k p ≡ 常数 {{k}_{p}}\equiv常数 kp≡常数或 k p ≡ 0 {{k}_{p}}\equiv0 kp≡0微分方程解的存在性和求解方法，目前还未见研究文献报道。
将原曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm改为圆，即上式有了具体的代数阶次，使得方程稍微变简单点，并没有改变其微分方程的性质和求解难度。由上述S.Roberts 理论可知，由两个圆点确定的平面运动轨迹曲线是六次代数曲线，而一个圆和一条直线确定的平面运动轨迹曲线是四次代数曲线，两条直线确定的平面运动轨迹曲线是二次代数曲线。
所以，圆点（圆）和滑点（直线）的存在性取决于运动性质，只有对应的运动才会有相应的特征点（圆点和滑点）的存在。而 瞬心线可以完全描述平面运动性质，有理由相信瞬心线几何性质与圆点和滑点有着内在联系，还有待深入研究。
2.5.1.2 离散位置综合
由上述连续及高阶运动综合可知，确切、完整描述刚体的运动性质并不简单，实现更难。在工程上有时仅仅要求准确通过若干离散位置，而在其他位置并无要求，这样既简化运动综合难度，又有实用价值，称为机构离散运动综合 ，包括少位置精确综合和多位置的近似综合，又统称为机构运动综合，如下图所示。
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机构少位置精确综合可描述为∶ 对于给定两个构件之间相对运动有限几个位置要求，如连杆运动几个位置、连杆点轨迹上几个点、两连架杆对应函数几组值，确定连杆机构的类型与尺度。同连续运动位置综合一样，可以将少位置要求或两个构件之间的相对运动表示为运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}对于固定刚体坐标系 { O f , i ⃗ f , j ⃗ f } \{{{O}_{f}},{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {Of,if,jf}的位移，只是运动坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}的原点 O m {{O}_{m}} Om在固定作标系 { O f , i ⃗ f , j ⃗ f } \{{{O}_{f}},{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {Of,if,jf}中的轨迹 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm，是离散点集 { R O m ( i ) } , i = 1 , . . , n \{R_{Om}^{(i)}\},i=1,..,n {ROm(i)},i=1,..,n，并且运动坐标系的标矢 i ⃗ m {{{\vec{i}}}_{m}} im在固定坐标系中的方向角 γ \gamma γ为离散函数。此时，对于运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*上任意点 P ( x P m , y P m ) P({{x}_{Pm}},{{y}_{Pm}}) P(xPm,yPm)，其在固定坐标系中的离散点集 { R O m ( i ) } \{R_{Om}^{(i)}\} {ROm(i)}，可由式（2.4）得到。
若综合平面四杆机构来精确实现给定刚体的平面运动，对于全铰链四杆机构需要确定运动刚体上的两个圆点，对于曲柄滑块机构需要确定运动刚体上的一个圆点和一个滑点，需根据圆点、滑点的定义，由离散轨迹点集性质确定出运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*上特征点的坐标。
少位置精确综合属于机构运动综合的经典理论，如Burmester理论阐述了四个分离位置运动刚体上的圆点曲线，而五个分离位置运动刚体上仅仅存在若干个圆点，也可能不存在，多于五个位置一般不存在圆点，与第1章的连续位置运动几何学理论对应。少位置精确综合方法以代数法应用最为普遍，但形成精确点位置方程可以有多种方法，如矢量法、复数法以及矩阵法等。
当给定运动刚体的位置数超过一定数目时，运动刚体上一般不存在圆点、滑点，而往往在工程实际中需要刚体通过更多的位置，但不一定要求精确通过，这样需要将机构少位置运动精确综合方法发展为机构多位置运动的近似综合方法，即机构运动近似综合。
机构多个分离位置的近似综合可以描述为∶对于给定两个构件之间多个相对运动若干离散位置要求，如连杆的多个位置、连杆点轨迹上多个点、两连架杆多组对应函数值，确定连杆机构的类型与尺度。两个构件之间的运动同样由运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*上坐标系 { O m , i ⃗ m , j ⃗ m } \{{{O}_{m}},{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\} {Om,im,jm}相对于固定刚体 Σ \Sigma Σ坐标系 { O f , i ⃗ f , j ⃗ f } \{{{O}_{f}},{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {Of,if,jf}的位置 { R O m ( i ) , γ ( i ) } \{R_{Om}^{(i)},{{\gamma }^{(i)}}\} {ROm(i),γ(i)}来描述。
若用简单的四杆机构近似实现给定运动要求，可得到运动刚体 Σ * \Sigma \text{*} Σ*上两个鞍圆点的全铰链四杆机构，运动刚体上的一个鞍圆点和一个鞍滑点的曲柄滑块机构。
机构多个分离位置的近似运动综合是随着近代计算技术的进步而发展起来的，已经成为机构运动综合的主要组成部分，其核心内容是目标函数如何选取，即如何评价综合误差或近似程度，也是区别各种机构优化综合方法的标志。机构优化综合方法的理论基础在于最优解的存在性和算法的收敛性，也是能否成为机构优化综合方法的关键。
2.5.1.3 函数综合
连杆机构的函数综合要求机构的输出连架杆和输入连架杆的位移满足给定的函数关系。连杆机构的传递函数可以表示为 φ = φ ( t ) , δ = δ ( φ ) \varphi =\varphi (t),\delta =\delta (\varphi ) φ=φ(t),δ=δ(φ)或者 S = S ( φ ) S=S(\varphi ) S=S(φ)，其中 φ \varphi φ为输入连架杆的转角， δ \delta δ和 S S S分别为输出连架杆的角位移和线位移。输出转角由平面全铰链四杆机构和平面导杆机构实现，而输出线位移由平面滑块机构来实现。在机械原理教科书中把其中一个连架杆看作相对机架，则另一个连架杆就转化为相对连杆。
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若给定两连架杆转角实现给定角位移函数 δ = δ ( φ ) \delta =\delta (\varphi ) δ=δ(φ)，其中 φ \varphi φ为输入杆的转角， δ \delta δ为输出杆的转角。如下图所示：
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取机架AD的长度为单位长度，在机架 A D AD AD上建立固定坐标系 { A ; i ⃗ f , j ⃗ f } \{A;{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {A;if,jf}在连架杆 1 1 1以及连架杆 3 3 3上分别建立运动坐标系 { A ; i ⃗ 1 , j ⃗ 1 } \{A;{{{\vec{i}}}_{1}},{{{\vec{j}}}_{1}}\} {A;i1,j1}和 { D ; i ⃗ 3 , j ⃗ 3 } \{D;{{{\vec{i}}}_{3}},{{{\vec{j}}}_{3}}\} {D;i3,j3}，连架杆 3 3 3相对于连架杆 1 1 1的运动可描述为随着铰链点 D D D的平移及绕点 D D D的转动，转角 γ = δ − φ \gamma =\delta -\varphi γ=δ−φ，从而可以按照式（2.46）的形式描述连架杆 3 3 3相对于连架杆 1 1 1的运动为∶
R ⃗ D = cos φ i ⃗ 1 − sin φ j ⃗ 1 , γ = δ − φ {{{\vec{R}}}_{D}}=\cos \varphi {{{\vec{i}}}_{1}}-\sin \varphi {{{\vec{j}}}_{1}},\gamma =\delta -\varphi RD=cosφi1−sinφj1,γ=δ−φ -
若给定的传递函数关系为 S = S ( φ ) S=S(\varphi ) S=S(φ)，其中 φ \varphi φ为输入杆的转角， S S S为滑块的位移，如下图所示。
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同样地，在机架 A D AD AD上建立固定坐标系 { A ; i ⃗ f , j ⃗ f } \{A;{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\} {A;if,jf}，在连架杆 1 1 1和滑块 3 3 3上分别建立运动坐标系 { A ; i ⃗ 1 , j ⃗ 1 } \{A;{{{\vec{i}}}_{1}},{{{\vec{j}}}_{1}}\} {A;i1,j1}以及 { D ; i ⃗ 3 , j ⃗ 3 } \{D;{{{\vec{i}}}_{3}},{{{\vec{j}}}_{3}}\} {D;i3,j3}，则滑块 3 3 3相对于连架杆 1 1 1的运动可描述为∶
R ⃗ D = S cos φ i ⃗ 1 − S sin φ j ⃗ 1 , γ = − φ {{{\vec{R}}}_{D}}=S\cos \varphi {{{\vec{i}}}_{1}}-S\sin \varphi {{{\vec{j}}}_{1}},\gamma =-\varphi RD=Scosφi1−Ssinφj1,γ=−φ
当给定平面机构两连架杆运动函数关系时， R ⃗ D = cos φ i ⃗ 1 − sin φ j ⃗ 1 , γ = δ − φ {{{\vec{R}}}_{D}}=\cos \varphi {{{\vec{i}}}_{1}}-\sin \varphi {{{\vec{j}}}_{1}},\gamma =\delta -\varphi RD=cosφi1−sinφj1,γ=δ−φ描述了连架杆 3 3 3上运动坐标系原点 D D D在连架杆 1 1 1上坐标系中的位置 ( cos φ , − sin φ ) (\cos \varphi ,-\sin \varphi ) (cosφ,−sinφ)和方向角 γ = δ − φ \gamma =\delta -\varphi γ=δ−φ； R ⃗ D = S cos φ i ⃗ 1 − S sin φ j ⃗ 1 , γ = − φ {{{\vec{R}}}_{D}}=S\cos \varphi {{{\vec{i}}}_{1}}-S\sin \varphi {{{\vec{j}}}_{1}},\gamma =-\varphi RD=Scosφi1−Ssinφj1,γ=−φ描述了滑块 3 3 3的坐标系原点 D D D在连架杆 1 1 1上坐标系中的位置 ( S cos φ , − S sin φ ) (S\cos \varphi ,-S\sin \varphi ) (Scosφ,−Ssinφ)和方向角 γ = − φ \gamma =-\varphi γ=−φ，均可以对应平面相伴运动的表示式（2.46）。因而将函数综合问题转化为刚体位置综合问题，即在作相对运动的另一连架杆上寻找特征点（圆点）。
2.5.1.4 轨迹综合
对于平面连杆机构的轨迹综合，要确定平面连杆机构的尺寸参数，使得连杆点能够复演给定的平面曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)或者点集 ( x M , y M ) ({{x}_{M}},{{y}_{M}}) (xM,yM)，如下图所示。
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工程技术人员通过查找连杆曲线的图谱来确定连杆机构的尺寸，或者通过实验法来确定，而数学家则通过研究给定曲线和连杆曲线的几何性质来推导出连杆点坐标的微分方程。从上述位置综合和函数综合的内容可以看出，若是同样将给定的平面曲线映射为相对于固定机架的刚体运动——原曲线 Γ O m {{\Gamma }_{Om}} ΓOm的位置矢量和相对转角$\gamma $，则轨迹综合问题同样可以转化为位置综合问题来解决。
如下图所示，采用二杆组 A B E ABE ABE上一点 E E E精确复演给定曲线 M − M M-M M−M，当 E E E点沿给定轨迹 M − M M-M M−M运动一周时，浮动杆 B E BE BE具有确定的运动，轨迹综合就是在浮动杆 B E BE BE上寻找特征点（圆点和滑点），问题的关键则为浮动杆 B E BE BE的运动确定与描述。第1章中研究了平面连杆机构的连杆曲线分布规律，可以为问题转化提供理论基础和初始值选择依据。
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