代码随想录算法训练营第53天｜动态规划part11｜123. 买卖股票的最佳时机 III、188.买卖股票的最佳时机IV
代码随想录算法训练营第53天｜动态规划part11｜123. 买卖股票的最佳时机 III、 188.买卖股票的最佳时机IV
123. 买卖股票的最佳时机 III
123. 买卖股票的最佳时机 III
思路：
相比买股票的最佳时机II，限制了买股票的次数，最多只能有两次。
关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：
- 确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
0. 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
1. 第一次持有股票
2. 第一次不持有股票
3. 第二次持有股票
4. 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。
- 确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？
一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
- dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
- 确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
- 举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。
所以最终最大利润是dp[4][4]
代码：
python
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0:
return 0
dp = [[0] * 5 for _ in range(len(prices))]
dp[0][1] = -prices[0]
dp[0][3] = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
dp[i][0] = dp[i-1][0]
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i])
dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i])
return dp[-1][4]
188. 买卖股票的最佳时机 IV
188. 买卖股票的最佳时机 IV
思路：
相比123. 买卖股票的最佳时机 III最多只允许2次，本题为k次
dp数组dp[i][j]由原来的dp[i][0-2]变为为0-k就好了
代码：
python
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0:
return 0
dp = [[0] * (2*k+1) for _ in range(len(prices))]
for j in range(1, 2*k, 2):
dp[0][j] = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
for j in range(0, 2*k-1, 2):
dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i])
dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i])
return dp[-1][2*k]