2022-01-12-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 递推数列 P043 例5）
用表示一些由、、组成的字长为的词组成的集合,其中每一个词中都没有连续两个字同时为或者同时为;表示一些由、、组成的字长为的词组成的集合,其中每一个词中都没有连续的三个字是两两不同的.证明:对任意正整数,都有.
证明
我们采用递推的方法来处理.
用表示集合中以开头的词的个数,表示以或开头的词的个数.
对于中的词,依第1个字分类,如果为,那么去掉它后所得的词仍属于;如果为,那么第2个字为或;如果为,那么第2个字为或.所以,成立如下递推关系式
再用表示中最前面的两个字相同的词的个数,表示中最前面的两个字不同的词的个数.
对于中的词,我们依最前面的两个字是否相同分类.如果相同,那么第3个字可以任取,此时,去掉第1个字后,所得词属于;如果不同,那么第3个字与前面两个字中的某一个相同,在与第1个字相同时,去掉第1个字后,共有个词.在与第2个字相同时,去掉第1个字后,共有个词(这里系数为2是因为 与 去掉第1个字后所得的词相同),所以,它们之间的递推关系式为
注意到,递推关系式(1)与(2)完全相同,不同的只是它们的初始条件.直接枚举可知,;,.因此,,从而由递推关系式,可知,.结合及,可得.
命题获证.
说明利用递推思想处理组合计数问题是一个重要的方法.这里建立的递推式可化为常系数齐次线性递推关系,可求解出的具体数值.
2022-01-12-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 递推数列 P044 例6）
实数数列满足:对任意不同的正整数、,都有,且存在正实数,使得对任意,都有.
求证:.
证明
此题不是以等式形式给出的数列各项之间的关系,它只是用一个不等式刻画了项与项之间的差距.整个解决过程有一定的分析味道,基于裂项求和的思想.
对,设是的一个排列,使得
注意,由条件可知中任意两项不同,而(1)只是将从小到大作了一个排列.
利用(1)及条件,可知
由Cauchy不等式,知
所以,我们有
令,即可得.
命题获证.
2022-01-12-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 递推数列 P045 例7）
由实数组成的无穷数列定义如下:、是两个不同的正实数,且, .问:该数列是否可能是一个有界数列?证明你的结论.
解
此数列一定是一个无界数列.证明的基本思想是从中取出一个递增的无界数列.
事实上,如果存在,使得,则由递推关系式,知a,进而(注意,这里用到的每一项都是非负实数),这样依次倒推,可知或者、中有一个等于零,但这与、是两个不同的正实数矛盾.因此,对任意,都有(即中没有相邻两项是相等的),从而结合递推式知,对任意,都有.
现在我们来从中挑出一个递增的子数列.
由条件,知或若为前者,则;若为后者,则,此时,由知,必有(否则,矛盾),这表明.这一段讨论表明:要么,要么.
利用上述结论,我们从数列去掉所有满足,且(注意,当时,将有)的项,当然,如果,那么去掉保留后再做去项操作.这样留下的项依次记为所得数列是一个递增数列.
最后,我们证明:为无界数列.
只需证明:对任意,(因为这时,利用裂项求和可得,让,即可知为无界数列).
由的定义,可设(注意不一定为),则由于是未被去掉的项,故,如果,那么,而或者(若为前者,则),于是,总有,得
如果,那么,而或者(若为后者,则,否则不是去掉的项),所以
命题获证.
2022-01-12-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 递推数列 P046 例8）
数列满足递推式
问:是否存在正实数,使得下面的结论都成立?
(1)若,则极限不存在;
(2)若,则.
解
存在满足条件的正实数,这个.题目的解答过程中会不断用到数学归纳法,其中的详细推导请读者自己完成.
(1)当时,利用数学归纳法可证:对,都有,故此时不存在.
(2)对,我们分两种情形处理:
情形一
,此时利用数学归纳法可证:对任意,都有;故.
情形二
,如果存在,使得,那么取最小的,则,此时,依此结合数学归纳法可证:当时,都有,从而.
最后,若对任意,都有,结合可知,对都有.现在设,利用递推式及数学归纳法可证:对意,.因此,取,则有,然后,再用数学归纳法可证:对任意,都有,这在充分大时,导致,矛盾.因此,必存在,使得,归入前面的情形.
综上可知,符合要求.