2023mathorcupA题量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用思路

2023mathorcup A题 量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用思路《gzh数模孵化园》出品

先说说这题难在哪，主要在于计算，计算，还是计算，优化算法的计算，三道题都是考察这个，而且是转变为QUBO 形式并求解

问题1要求在100个信用评分卡中找出1张及其对应阈值，使得最终收入最多。我们可以使用遍历法来解决这个问题。首先，需要将问题转换为QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式，以便使用量子计算或其他优化算法进行求解。

题目给了一个表格，那个表格里面可以读到很多信息！一定要留意，做数模的时候，表格透露的信息就是你下手的方向。这种给定的反而会比那种开放的要好做，懂的都懂。

先给大家分析一下表格。表格中，我们可以分析在不同阈值下，各个信用评分卡带来的贷款利息收入和坏账损失。对于银行来说，关键在于找到一个合适的阈值，以平衡通过率和坏账率，从而使最终收入最大化。现在我们可以计算每个信用评分卡在每个阈值下的收入，并找到最优解。

假设每笔贷款的平均金额为 A，贷款利率为 r，我们可以计算每个阈值下的贷款利息收入和坏账损失，然后得出最终收入：

最终收入 = 贷款利息收入 - 坏账损失

= A × 通过率 × r - A × 通过率 × 坏账率

为了简化计算，我们可以将 A 取消，得到一个简化的收入公式：

简化收入 = 通过率 × r - 通过率 × 坏账率

通过计算每个信用评分卡在每个阈值下的简化收入，我们可以找到最佳阈值和信用评分卡。

这就是从表格里面读出的信息。

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开始正文：

要将这个问题建模为 QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization) 问题，我们首先需要将其转化为一个二次无约束的优化问题。对于这个问题，我们可以采用以下策略：

这里一定要转变成二进制变量，一定要，后面的问题都是在基于本题的基础上操作的。

使用二进制变量表示信用评分卡的选择。对于每张信用评分卡 i（1 <= i <= 100），我们引入 10 个二进制变量 x_i1, x_i2, ..., x_i10，其中 x_ij 代表信用评分卡 i 的阈值 j 是否被选中。如果阈值 j 被选中，则 x_ij = 1，否则 x_ij = 0。

由于我们需要选择 1 张信用评分卡及其对应阈值，我们需要添加一个约束条件，确保每个信用评分卡只有一个阈值被选中，即对于所有 i，有且仅有一个 x_ij = 1。为了将这个约束条件转化为 QUBO 形式，我们可以将其表示为一个二次惩罚项。对于每个 i，我们可以添加一个惩罚项 λ * (Σ_j x_ij - 1)^2，其中 λ 是一个足够大的惩罚系数，以确保约束条件得到满足。

接下来，我们需要定义目标函数，即最大化最终收入。根据问题描述，最终收入 = 贷款利息收入 - 坏账损失。为了简化计算，我们可以先计算每个信用评分卡在每个阈值下的简化收入（通过率 × 利息收入率 - 通过率 × 坏账率），然后找到最大化简化收入的信用评分卡和阈值。

我们的目标是最大化简化收入，因此目标函数可以表示为：

目标函数 = Σ_i Σ_j (通过率_ij × 利息收入率 - 通过率_ij × 坏账率_ij) × x_ij

将约束条件添加到目标函数中，我们得到：

QUBO 目标函数 = Σ_i Σ_j (通过率_ij × 利息收入率 - 通过率_ij × 坏账率_ij) × x_ij + Σ_i λ * (Σ_j x_ij - 1)^2

现在，我们已经将问题转化为了一个 QUBO 问题,接着就是优化算法进行计算：

这里随便采用一种比较经典的，大家可以改着来，优化算法实际上非常多。

顺便给大家科普一下常见的优化算法和场景，毕竟大家都是想来学东西而不是为了水这个比赛的是吧（手动狗头）

梯度下降算法：主要用于求解连续可导的目标函数的最小值。通过计算目标函数的梯度（导数），沿着梯度的负方向更新变量值，直到找到局部最小值。

牛顿法（Newton's Method）：牛顿法是一种基于二阶导数（Hessian 矩阵）的优化算法，通过计算目标函数的梯度和 Hessian 矩阵，使用二阶泰勒展开来近似目标函数，从而找到局部最小值。

随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）：SGD 是梯度下降法的一个变种，适用于大规模数据集。在每次迭代过程中，SGD 从数据集中随机抽取一个样本或一小批样本来计算梯度，从而降低计算复杂度。

粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）：PSO 是一种基于群体智能的优化算法，模拟鸟群觅食行为。粒子群中的每个粒子表示一个潜在解，通过不断更新粒子位置和速度来找到全局最优解。

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过对解的编码、交叉、变异和选择等操作，实现优秀解的保留和繁衍，从而找到全局最优解。

模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）：模拟退火算法是一种启发式搜索算法，模拟物质在高温下的退火过程。通过随机搜索邻域解并以一定概率接受劣解，以免陷入局部最优解。

import numpy as np

# 假设我们有以下模拟数据

num_cards = 100

num_thresholds = 10

loan_amount = 1000000

interest_rate = 0.08

penalty_lambda = 1000



# 随机生成通过率和坏账率数据

np.random.seed(42)

pass_rates = np.random.rand(num_cards, num_thresholds)

bad_debt_rates = np.random.rand(num_cards, num_thresholds) * 0.1



# 计算每个信用评分卡在每个阈值下的简化收入

simplified_incomes = pass_rates * interest_rate - pass_rates * bad_debt_rates



# 暴力搜索最优解

best_income = -np.inf

best_card = -1

best_threshold = -1



for i in range(num_cards):

    for j in range(num_thresholds):

        # 计算当前信用评分卡和阈值下的最终收入

        income = loan_amount * simplified_incomes[i, j]



        # 如果当前收入大于已找到的最佳收入，更新最佳收入、信用评分卡和阈值

        if income > best_income:

            best_income = income

            best_card = i

            best_threshold = j



print(f"最佳信用评分卡: {best_card + 1}")

print(f"最佳阈值: {best_threshold + 1}")

print(f"最大最终收入: {best_income:.2f} 元")

问题 2：假设赛题说明 3 目前已经选定了数据集中给出的信用评分卡 1、 信用评分卡 2、信用评分卡 3 这三种规则，如何设置其对应的阈值，使最终收入最多，请针对该问题进行建模，将模型转为 QUBO 形式并求解。

我们首先需要将问题转化为 QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization) 形式。我们将三种信用评分卡的阈值表示为二进制变量，并构造一个关于这些变量的二次目标函数。接下来，我们使用优化算法来求解该目标函数的最小值。

首先，为了简化问题，我们将每个阈值分成 10 个二进制位。对于信用评分卡 i（i = 1, 2, 3），我们定义一个 10 位二进制数 x_i = x_{i1}...x_{i10}，其中 x_{ij} = 1 当且仅当阈值 j 被选择。因此，我们有以下约束条件：

Σ(x_{ij}) = 1, 对于 i = 1, 2, 3

接下来，我们计算最终收入。根据赛题描述，最终收入可以表示为：

最终收入 = 贷款利息收入 - 坏账损失 = 贷款资金 × 利息收入率 × 总通过率 × (1 - 总坏账率) - 贷款资金 × 总通过率 × 总坏账率

我们的目标是最大化最终收入。由于 QUBO 是一个求最小值问题，我们可以求最小化负最终收入。

我们需要构造一个关于二进制变量 x_{ij} 的二次目标函数。为此，我们可以将总通过率和总坏账率表示为关于二进制变量的二次函数。例如，总通过率可以表示为：

总通过率 = Π(Σ(t_{ij} × x_{ij})), 对于 i = 1, 2, 3 和 j = 1,...,10

其中 t_{ij} 代表信用评分卡 i 的阈值 j 的通过率。类似地，总坏账率可以表示为：

总坏账率 = Σ(Σ(h_{ij} × x_{ij}) / 3), 对于 i = 1, 2, 3 和 j = 1,...,10

其中 h_{ij} 代表信用评分卡 i 的阈值 j 的坏账率。

接着，最终收入表示为关于二进制变量的二次函数，并求解 QUBO 问题，这里的求解过程其实跟第一问一样，都是用优化算法即可。已经举过例子，这里不再赘述。

第三问：从所给附录中 100 个信用评分卡中任选取 3 种信用评分卡，并设置合理的阈值，使得最终收入最多，请针对该问题进行建模，并将模型转为QUBO 形式并求解。

我们还是需要将信用评分卡的选择和阈值表示为二进制变量，并构造一个关于这些变量的二次目标函数。接下来，我们使用优化算法来求解该目标函数的最小值。

首先，我们将信用评分卡的选择分为 100 个二进制位：y_i = 1 当且仅当信用评分卡 i 被选择。我们有以下约束条件：

Σ(y_i) = 3, 对于 i = 1,...,100

接下来，为了简化问题，我们将每个阈值分成 10 个二进制位。对于信用评分卡 i（i = 1,...,100），我们定义一个 10 位二进制数 x_i = x_{i1}...x_{i10}，其中 x_{ij} = 1 当且仅当阈值 j 被选择。因此，我们有以下约束条件：

Σ(x_{ij}) = 1, 对于 i = 1,...,100

我们需要将这些约束条件纳入目标函数。我们可以使用罚函数法实现这一点。首先，我们定义一个关于二进制变量 y_i 的罚函数：

P_y(y) = (Σ(y_i) - 3)^2

然后，我们定义一个关于二进制变量 x_{ij} 的罚函数：

P_x(x) = Σ((Σ(x_{ij}) - 1)^2), 对于 i = 1,...,100

现在，我们计算最终收入。根据赛题描述，最终收入可以表示为：

最终收入 = 贷款利息收入 - 坏账损失 = 贷款资金 × 利息收入率 × 总通过率 × (1 - 总坏账率) - 贷款资金 × 总通过率 × 总坏账率

我们的目标是最大化最终收入。由于 QUBO 是一个求最小值问题，我们可以求最小化负最终收入。

我们需要构造一个关于二进制变量 x_{ij} 和 y_i 的二次目标函数。为此，我们可以将总通过率和总坏账率表示为关于二进制变量的二次函数。例如，总通过率可以表示为：

总通过率 = Π(Σ(t_{ij} × x_{ij} × y_i)), 对于 i = 1,...,100 和 j = 1,...,10

其中 t_{ij} 代表信用评分卡 i 的阈值 j 的通过率。类似地，总坏账率可以表示为：

总坏账率 = Σ(Σ(h_{ij} × x_{ij} × y_i) / 3), 对于 i = 1,...,100 和 j = 1,...,10

其中 h_{ij} 代表信用评分卡 i 的阈值 j 的坏账率。

我们可以将最终收入表示为关于二进制变量的二次函数。将总通过率和总坏账率的表达式代入负最终收入的公式，我们得到：

负最终收入 = 贷款资金 × 总通过率 × 总坏账率 - 贷款资金 × 利息收入率 × 总通过率 × (1 - 总坏账率)

我们的目标是最小化负最终收入并满足约束条件。因此，我们构建一个关于二进制变量 x_{ij} 和 y_i 的加权二次目标函数：

Q(x, y) = 负最终收入 + α × P_y(y) + β × P_x(x)

其中 α 和 β 是调整约束条件惩罚项的权重的超参数。

于是将问题转化为 QUBO 形式。要求解，我们可以使用模拟退火、遗传算法等优化算法。

在得到最优解后，我们可以从结果中提取出选定的信用评分卡以及对应的阈值，从而实现最大化最终收入的目标。

C题思路https://mp.weixin.qq.com/s/ujcVcKiCsp12r_FjNpPTaA