01:数据结构与算法（Java）- 最长严格递增子序列（动态规划/递归算法） 菜鸟成长日记

数据结构与算法（动态规划/中心扩展算法）

动态规划

概念：

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。（百度复制的，总之很牛逼）

本质：

通过空间换时间，通过开销额外的空间，去降维时间复杂度。动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。

应用场景：

动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。动态规划其实就是，给定一个问题，我们把它拆成一个个子问题，直到子问题可以直接解决。然后呢，把子问题答案保存起来，以减少重复计算。再根据子问题答案反推，得出原问题解的一种方法。

经典案例：

A * "1+1+1+1+1+1+1+1 =？" *
A : "上面等式的值是多少"
B : *计算* "8!"
A *在上面等式的左边写上 "1+" *
A : "此时等式的值为多少"
B : *quickly* "9!"
A : "你怎么这么快就知道答案了"
A : "只要在8的基础上加1就行了"
A : "所以你不用重新计算因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"

由上面的图片和小故事可以知道动态规划算法的核心就是记住已经解决过的子问题的解。

动态规划的解体思路（由顶向底，由底向上）

上面已经知道动态规划算法的核心是记住已经求过的解，记住求解的方式有两种：
①自顶向下的备忘录法 ②自底向上。
为了说明动态规划的这两种方法，举一个最简单的例子：。先看一下这个问题：青蛙跳阶问题（求斐波拉契数列**Fibonacci **）

leetcode原题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。

有些小伙伴第一次见这个题的时候，可能会有点蒙圈，不知道怎么解决。其实可以试想：

• 要想跳到第10级台阶，要么是先跳到第9级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级，然后一次迈2级台阶上去。
• 同理，要想跳到第9级台阶，要么是先跳到第8级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级，然后一次迈2级台阶上去。
• 要想跳到第8级台阶，要么是先跳到第7级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级，然后一次迈2级台阶上去。

假设跳到第n级台阶的跳数我们定义为f(n)，很显然就可以得出以下公式：

Fibonacci (0) = 0;   n = 0
Fibonacci (1) = 1;   n = 1
Fibonacci (n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)   n为大于等于2的整数

那f(2) 或者 f(1) 等于多少呢？

• 当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;
• 当只有1级台阶时，只有一种跳法，即f（1）= 1；

递归方式

先使用递归（递归通常把一个复杂问题通过层层转换，把他转换为一个与原问题相似的规模较小的问题（子问题）来求解，特点是程序少，计算量大）版本来实现这个算法：java

解析

• F（5）= F（4）+F（3）
• F（4）= F（3）+F（2）
• F（3）= F（2）+F（1）
  由此得到

要计算原问题 f(5)，就需要先计算出子问题 f(4) 和 f(3) 然后要计算 f(4)，又要先算出子问题 f(3) 和
f(2)，以此类推。 一直到 f(2) 和 f(1），递归树才终止。

递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数

复制代码

补充:算法复杂度分为时间复杂度与空间复杂度，时间复杂度衡量了执行这个算法所需要的计算工作量，而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
一个子问题时间 = f（n-1）+f（n-2），也就是一个加法的操作，所以复杂度是 O(1)； 问题个数 =
递归树节点的总数，递归树的总节点 = 2^{n-1，所以是复杂度O(2}n)。 因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) *
O(2^n) = O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，如果n比较大的话，超时很正常的了。

public class Fibonacci {
    public static void main(String[] args) {
        int n = new Scanner(System.in).nextInt();
        int solution = fib(n);
        System.out.println("&&&&&"+solution);

    }
    private static int fib(Integer n){
        //给一个程序的出口
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1;
        }
        return fib(n - 1) + fib(n - 2 );
    }
}

回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在大量重复计算，比如f（3）被计算了两次，f（2）被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！递归算法有可能导致计算超时！
既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，即造一个备忘录，等到下次需要的话，先去备忘录查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才开始计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是带备忘录的解法。

自顶向下的备忘录法 （自顶向下）

一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个备忘录。

第一步，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都需要计算出来，然后再加到备忘录中，如下：

第二步， f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要计算出来，加到备忘录中~

第三步， f(8) = f（7）+ f(6),发现f(8)，f(7),f（6）全部都在备忘录上了，所以都可以剪掉。

所以呢，用了备忘录递归算法，递归树变成光秃秃的树干咯，如下：

带备忘录的递归算法，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题还是O(1),所以带备忘录的递归算法的时间复杂度是O(n)。接下来呢，我们用带备忘录的递归算法去撸代码，解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~，代码如下：

public class Solution {
    //使用哈希map，充当备忘录的作用
    Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
    public int numWays(int n) {
        // n = 0 也算1种
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        if (n <= 2) {
            return n;
        }
        //先判断有没计算过，即看看备忘录有没有
        if (tempMap.containsKey(n)) {
            //备忘录有，即计算过，直接返回
            return tempMap.get(n);
        } else {
            // 备忘录没有，即没有计算过，执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中，对1000000007取余（这个是leetcode题目规定的）
            tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);
            return tempMap.get(n);
        }
    }
}

去leetcode提交一下，如图，稳了：

其实，还可以用动态规划解决这道题。

动态规划

自底向上的动态规划

动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的，都是减少重复计算，时间复杂度也都是差不多。但是呢：

带备忘录的递归，是从f(10)往f(1）方向延伸求解的，所以也称为自顶向下的解法。

动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。

动态规划有几个典型特征，最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在青蛙跳阶问题中：

1. f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构
2. f(n)= f（n-1）+f（n-2）就称为状态转移方程
3. f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦

比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。

我们来看下自底向上的解法，从f(1)往f(10）方向，想想是不是直接一个for循环就可以解决啦，如下：

带备忘录的递归解法，空间复杂度是O(n)，但是呢，仔细观察上图，可以发现，f（n）只依赖前面两个数，所以只需要两个变量a和b来存储，就可以满足需求了，因此空间复杂度是***O(1)***就可以啦

动态规划实现代码如下：

public class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if (n<= 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        int a = 1;
        int b = 2;
        int temp = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            temp = (a + b)% 1000000007;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return temp;
    }
    }

动态规划的解题套路

什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢？

如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。

比如一些求最值的场景，如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等，都是动态规划的经典应用场景。

动态规划的解题思路

动态规划的核心思想就是拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 并且动态规划一般都是自底向上的，因此到这里，基于青蛙跳阶问题，我总结了一下我做动态规划的思路：
穷举分析
确定边界
找出规律，确定最优子结构
写出状态转移方程

1. 穷举分析

当台阶数是1的时候，有一种跳法，f（1） =1
当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;
当台阶是3级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第2级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 1级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3
当台阶是4级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第3级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 2级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5
当台阶是5级时…
自底向上的动态规划

**2. 确定边界 **

通过穷举分析，我们发现，当台阶数是1的时候或者2的时候，可以明确知道青蛙跳法。f（1） =1，f(2) = 2，当台阶n>=3时，已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) =3，因此f（1） =1，f(2) = 2就是青蛙跳阶的边界。

3. 找规律，确定最优子结构

n>=3时，已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。什么是最优子结构？有这么一个解释：

一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k)
最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质

4， 写出状态转移方程

通过前面3步，穷举分析，确定边界，最优子结构，我们就可以得出状态转移方程啦：

5. 代码实现

我们实现代码的时候，一般注意从底往上遍历哈，然后关注下边界情况，空间复杂度，也就差不多啦。动态规划有个框架的，大家实现的时候，可以考虑适当参考一下：

dp[0][0][...] = 边界值
for(状态1 ：所有状态1的值){
    for(状态2 ：所有状态2的值){
        for(...){
          //状态转移方程
          dp[状态1][状态2][...] = 求最值
        }
    }
}

复制代码
leetcode案例分析
我们一起来分析一道经典leetcode题目吧

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
我们按照以上动态规划的解题思路，

穷举分析
确定边界
找规律，确定最优子结构
状态转移方程

1.穷举分析

因为动态规划，核心思想包括拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 所以我们在思考原问题：数组num[i]的最长递增子序列长度时，可以思考下相关子问题，比如原问题是否跟子问题num[i-1]的最长递增子序列长度有关呢？

自顶向上的穷举

这里观察规律，显然是有关系的，我们还是遵循动态规划自底向上的原则，基于示例1的数据，从数组只有一个元素开始分析。

• 当nums只有一个元素10时，最长递增子序列是[10],长度是1.
• -当nums需要加入一个元素9时，最长递增子序列是[10]或者[9],长度是1。
• 当nums再加入一个元素2时，最长递增子序列是[10]或者[9]或者[2],长度是1。
• 当nums再加入一个元素5时，最长递增子序列是[2,5],长度是2。
• 当nums再加入一个元素3时，最长递增子序列是[2,5]或者[2,3],长度是2。
• 当nums再加入一个元素7时，,最长递增子序列是[2,5,7]或者[2,3,7],长度是3。
• 当nums再加入一个元素101时，最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101],长度是4。
• 当nums再加入一个元素18时，最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],长度是4。
• 当nums再加入一个元素7时,最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],长度是4.

分析找规律，拆分子问题

通过上面分析，我们可以发现一个规律：

如果新加入一个元素nums[i], 最长递增子序列要么是以nums[i]结尾的递增子序列，要么就是nums[i-1]的最长递增子序列。看到这个，是不是很开心，nums[i]的最长递增子序列已经跟子问题 nums[i-1]的最长递增子序列有关联了。

原问题数组nums[i]的最长递增子序列 = 子问题数组nums[i-1]的最长递增子序列/nums[i]结尾的最长递增子序列

是不是感觉成功了一半呢？但是如何把nums[i]结尾的递增子序列也转化为对应的子问题呢？要是nums[i]结尾的递增子序列也跟nums[i-1]的最长递增子序列有关就好了。又或者nums[i]结尾的最长递增子序列，跟前面子问题num[j]（0=
nums[i]的最长递增子序列，不就是从以数组num[i]每个元素结尾的最长子序列集合，取元素最多（也就是长度最长）那个嘛，所以原问题，我们转化成求出以数组nums每个元素结尾的最长子序列集合，再取最大值嘛。哈哈，想到这，我们就可以用dp[i]表示以num[i]这个数结尾的最长递增子序列的长度啦，然后再来看看其中的规律：

其实，nums[i]结尾的自增子序列，只要找到比nums[i]小的子序列，加上nums[i] 就可以啦。显然，可能形成多种新的子序列，我们选最长那个，就是dp[i]的值啦

• nums[3]=5,以5结尾的最长子序列就是[2,5],因为从数组下标0到3遍历，只找到了子序列[2]比5小，所以就是[2]+[5]啦，即dp[4]=2
• nums[4]=3,以3结尾的最长子序列就是[2,3],因为从数组下标0到4遍历，只找到了子序列[2]比3小，所以就是[2]+[3]啦，即dp[4]=2
• nums[5]=7，以7结尾的最长子序列就是[2,5,7]和[2,3,7],因为从数组下标0到5遍历，找到2,5和3都比7小，所以就有[2,7],[5,7],[3,7],[2,5,7]和[2,3,7]这些子序列，最长子序列就是[2,5,7]和[2,3,7]，它俩不就是以5结尾和3结尾的最长递增子序列+[7]来的嘛！所以，dp[5]=3
  =dp[3]+1=dp[4]+1。

很显然有这个规律：一个以nums[i]结尾的数组nums

如果存在j属于区间[0，i-1],并且num[i]>num[j]的话，则有，dp(i) =max(dp(j))+1，
最简单的边界情况

当nums数组只有一个元素时，最长递增子序列的长度dp(1)=1,当nums数组有两个元素时，dp(2) =2或者1， 因此边界就是dp(1)=1。

确定最优子结构

从穷举分析，我们可以得出，以下的最优结构：

dp(i) =max(dp(j))+1，存在j属于区间[0，i-1],并且num[i]>num[j]。

max(dp(j)) 就是最优子结构。

状态转移方程

通过前面分析，我们就可以得出状态转移方程啦：

所以数组num[i]的最长递增子序列就是：

最长递增子序列 =max(dp[i])

代码实现

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        //初始化就是边界情况
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        //自底向上遍历
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = 1;
            //从下标0到i遍历
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                //找到前面比nums[i]小的数nums[j],即有dp[i]= dp[j]+1
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    //因为会有多个小于nums[i]的数，也就是会存在多种组合了嘛，我们就取最大放到dp[i]
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            //求出dp[i]后，dp最大那个就是nums的最长递增子序列啦
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }
}

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来源：稀土掘金
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