如何优雅地使用数学归纳法

前 n 项整数的和

$$A_n=1+2+3+..+n$$
递推式为
$$\begin{array}{rl}{A}_0& =0,n=0\\ A_n& =A_{n-1}+n,n\ge 1\end{array}$$
用数学归纳法证明如下命题为真：
$$A_n=\frac{n\times (n+1)}{2}$$

证明：
1、$A_0=\frac{0\times (0+1)}{2}=0$
2、令 $r\le n$，由递推式可以得到
$$A_{r+1}=A_r+r=\frac{r\times (r+1)}{2}+r+1=\frac{r(r+1)+2(r+1)}{2}=\frac{(r+1)(r+2)}{2}$$
所以命题成立

数学归纳法、递推公式 和 通项公式

数学归纳法，只需要相邻两项的递推公式，即可证明通项公式是否正确。
例如 等差级数前 n 项和公式，递推公式为：
$$\begin{array}{rl}{S}_0& =a,n=0\\ S_n& =S_{n-1}+a+nd，n\ge 0\end{array}$$
证明其通项公式如下：
$$S_n=\frac{(n+1)(2a+nd)}{2}$$
证明：
1、$S_0=\frac{(0+1)(2a+0)}{2}=a$
2、令 $r\le n$，由递推式可以得到
$$\begin{array}{rl}{S}_{r+1}& =S_r+a+(r+1)d\\ & =\frac{(r+1)(2a+rd)}{2}+a+(r+1)d\\ & =\frac{(r+1)(2a+rd)+2a+2(r+1)d}{2}\\ & =\frac{2a(r+1)+rd(r+1)+2a+2d(r+1)}{2}\\ & =\frac{2a(r+2)+(r+2)(r+1)d}{2}\\ & =\frac{(r+2)(2a+(r+1)d)}{2}\end{array}$$
命题得证

相同的方式还可以证明，等比数列前n项和的通项公式为：
$$G_n=a\frac{1-q^{n+1}}{1-q},递推公式为G_n=G_{n-1}\times a{q}^n$$
前 n项平方和的通项公式为：
$$G_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},递推公式为G_n=G_{n-1}+n^2$$
前 n项立方和的通项公式为：
$$G_n=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2,递推公式为G_n=G_{n-1}+n^3$$

杨辉三角

杨辉三角 也叫 帕斯卡三角，如上图左所示，现在把空格去掉，变成上图右边的矩阵。其中第 n 行的值，对应 $(a+b{)}^n$展开后的系数。比如 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$，对应的系数 是 $1,2,1$，其他以此类推。我们用 $C_n^i$ 表示第 $n$ 行，第 $i$ 列的值。比如 $C_4^3=6$，表示第 4 行第 3 列的值为 6。观察上图我们可以看到，这个三角具有的性质，第 n 行 第 i 列的值为，上一行第 i 列 和 上一行第 i - 1 列的值之和，比如 $C_4^3=C_3^3+C_3^2$。由此我们可以得到一个递推式：
$$C_n^i=C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^i$$
现在根据这个递推式，我们需要证明如下求$(n,i)$位置的值的通项公式：
$$C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}$$
这是一个二维的递推式，所以我们的递推式如下：
$$\begin{array}{rl}{C}_1^0& =1\\ C_1^1& =1\\ C_n^i& =C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^i\end{array}$$
证明如下：（规定 $0!=1$）
1、$C_1^0=\frac{1!}{0!(1-0)!}=1$，$C_1^1=\frac{1!}{1!(1-1)!}=1$
2、令 $r<n$，由递推式可以得到
$$\begin{array}{rl}{C}_{r+1}^i& =C_r^{i-1}+C_r^i\\ & =\frac{r!}{(i-1)!(r-i+1)!}+\frac{r!}{i!(r-i)!}\\ & =\frac{ir!+(r+1-i)r!}{i!(r+1-i)!}\\ & =\frac{(r+1)!}{i!(r+1-i)!}\end{array}$$
命题得证

总结

数学归纳法仅能用于证明某个通项公式成立，但是却没有揭示这个通项公式是怎么来的，也没有提供任何的线索。但是仅仅能够证明某个命题为真，也可为未来的使用扫清障碍。创造性的部分，往往需要用到经验、直觉、类比、天赋和运气，并没有一般的规律可循。

递推式是一种分治法的计算公式，即将问题规模为 n 的问题，分解为问题规模为 n - 1 的问题，直到将问题分解到最简单的形式。