一个概率论例题引发的思考

浙江大学版《概率论与梳理统计》一书中的，第13章第1节例2如下：

这个解释和模型比较简单易懂。接下来，第2节的例2是一个关于此模型的题目：

在我自己的理解中，此题的解法跟上一个题目一样，第二级传输后，一共有4中可能性，按照平均概率相加即可。

$$\left\{\begin{array}{cc}{p}^n& q^n\\ q^n& p^n\end{array}\right\}$$

然而，仔细考虑之后发现不妥。因为最后结果的概率，这样计算不太合适，但是又没有发现更合理的理论和方法，又看到这一节的如下论述：

似乎抓到了什么，但是又特别模糊。

再看以下C-K方程：

因此，参考此文：https://blog.csdn.net/m0_37567738/article/details/132182007?spm=1001.2014.3001.5502可以得出结论，此种题目的解题方法还是要回到马尔可夫概率转移矩阵中去找答案。

我觉得要理解此题目的底层逻辑，还需要了解以下公式：

$$\begin{gathered} P\{X_n=a_n\}=\sum _{i=1}^{+\infty }P\{X_n=a_n,X_0=a_i\}= \\ \sum _{i=1}^{+\infty }P\{X_n=a_n|X_0=a_i\}P\{X_0=a_i\}=\sum _{i=1}^{+\infty }{P}_i(0)P_{ij}(n)= \\ \sum _{i=1}^{+\infty }{P}_{i1}(1)P_{ij}(n-1)=\sum _{i=1}^{+\infty }{P}_{2i}(2)P_{ij}(n-2)=\sum _{i=1}^{+\infty }{P}_{3i}(3)P_{ij}(n-3)=...... \end{gathered}$$

这个逻辑的本质区别就在于，它是利用后验概率去推算先验概率的，这是一种理论上的优越性。

我们想要求解的概率P，它依赖于其概率矩阵的乘法运算，而不是说简单把4种转换相加。