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矩阵的特征值和特征向量的性质

什么是特征值和特征向量

 

A\alpha =\lambda \alpha

A为一个N阶方阵，\alpha为一个向量，\lambda为一个值。

满足上述等式，则称\alpha为一个特征向量，\lambda为一个特征值

注：1、方阵才有特征值、特征向量，非方阵没有

2、特征向量\alpha \neq 0

3、设A_{n*n}，则复数范围内，A恰有N个特征值

4、对于\lambda每个特征值，都有无穷个特征向量

证：kA\left ( \alpha \right )=k\lambda\alpha =A\left ( k\alpha \right )=\lambda \left ( k\alpha \right )

所以\alpha为满足\lambda为特征值的一个特征向量，则\alpha任意乘以一个非零数k，则k\alpha任然为 满足\lambda为特征值的一个特征向量 

所以可以得出， \lambda为特征值时，有无穷个特征向量与其对应，即k\alpha，k\neq 0

并且，其中的任意两个\alpha相加，都为\lambda为特征值时的特征向量

 5、若\alpha (\alpha \neq 0)为AX=0的解，则可以称，\alpha为A特向值\lambda为0时的特征向量

即A\alpha =0\alpha =0

如何求特征值

A\alpha =\lambda \alpha

A\alpha-\lambda \alpha =0

\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0

\because \alpha \neq 0

意味着\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0有非零解

\therefore R(A-\lambda E)<n

意味着A-\lambda E的秩小于n，即不满秩，如果满秩的话，只有\alpha是零向量，才有解

不满秩的充要条件，有\left | A-\lambda E \right |=0

向量的行列式为0，则该向量不满秩

最后，由\left | A-\lambda E \right |=0这个方程，解出\lambda的值

 如何求特征值对应的特征向量

将上述\lambda的值，分别代入原方程\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0

可以分别求出其解\alpha ，即为\lambda对应的特征向量

特征值和特征向量的一些性质

1、\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=tr(A)

A矩阵特征值的和，等于A矩阵，主对角线上元素的和，叫做矩阵A的迹

证明：\left | A-\lambda E \right |=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}-\lambda & &a_{2n} \\ .. .& ... & ... &... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )...(\lambda _{n}-\lambda )

寻找\lambda ^{n-1}的系数，则只能在(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )(a_{33}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )当中进行组合选择

a_{11}(-\lambda) ^{n-1}+a_{22}(-\lambda) ^{n-1}+...a_{nn}(-\lambda) ^{n-1}=(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})(-\lambda) ^{n-1}=\lambda _{1}(-\lambda) ^{n-1}+\lambda _{2}(-\lambda) ^{n-1}+...\lambda _{n}(-\lambda) ^{n-1}=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n})(-\lambda) ^{n-1}

\therefore a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n}

2、\lambda _{1}*\lambda _{2}*...*\lambda _{n}=\left | A \right |

 A矩阵特征值的积，等于A的行列式

证明：\left | A-\lambda E \right |=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}-\lambda & &a_{2n} \\ .. .& ... & ... &... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )...(\lambda _{n}-\lambda )

 令\lambda =0，则等式左端为A的行列式，等式右端，则为A矩阵特征值的积

3、不同特征值的特征向量之间，一定线性无关

证明：

设\lambda _{1}\lambda _{2}....\lambda _{s}是A的各不相同的特征向量

\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}是与其对应的任一特征向量

使用数学归纳法

当n=1时，\alpha _{1}\neq 0，它自个儿自然是线性无关

当n=s-1时，设\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s-1}线性无关

当n=s时，如果可以证得\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}线性无关，则我们的假设成立

即证明k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0时，只有当k1、k2、k3...ks为0时等式成立

k_{1}A\alpha _{1}+k_{2}A\alpha _{2}+k_{3}A\alpha _{3}+...k_{s}A\alpha _{s}=0

我们将等式左乘矩阵A，因为k是数值可以移到左边去，然后根据A\alpha =\lambda \alpha的定义

 0=k_{1}A\alpha _{1}+k_{2}A\alpha _{2}+k_{3}A\alpha _{3}+...k_{s}A\alpha _{s}=k_{1}\lambda _{1}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{2}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{3}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}

然后我们将k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0等式两边乘上\lambda _{s}，则可以得到

k_{1}\lambda _{s}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{s}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{s}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}=0

减去上面的等式

 k_{1}\lambda _{1}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{2}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{3}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}=0

得

k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})\alpha _{1}+k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})\alpha _{2}+k_{3}(\lambda _{3}-\lambda _{s})\alpha _{3}+...k_{s}(\lambda _{s}-\lambda _{s}) \alpha _{s}=0

这里面k_{s}(\lambda _{s}-\lambda _{s}) \alpha _{s}已经被消掉了，只剩下

k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})\alpha _{1}+k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})\alpha _{2}+k_{3}(\lambda _{3}-\lambda _{s})\alpha _{3}+...k_{s-1}(\lambda _{s-1}-\lambda _{s}) \alpha _{s-1}=0

我们已经知道\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s-1}是线性无关的了

就意味着

k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})=0

 k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})=0

 ...

k_{s-1}(\lambda _{s-1}-\lambda _{s})=0

因为\lambda _{1}\lambda _{2}....\lambda _{s}是A的各不相同的特征向量，所以k1、k2...ks-1都为零

将k1到ks-1的值代回到k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0

得到

k_{s}\alpha _{s}=0

 所以ks也为零

我们就解出了k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0这个等式下，k1、k2、k3...ks都为0，这意味着\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}线性无关，所以由数学归纳法可以证明

不同特征值的特征向量之间，一定线性无关

 4、A的k重特征值\lambda线性无关的特征向量最多有k个

如果\lambda为单特征值（就是没有一样的特征向量），那么特征向量就只有1个

5、A矩阵逆的特征值为\frac{1}{\lambda }(\lambda \neq 0)，且特征向量为\alpha

证明：A\alpha =\lambda \alpha \rightarrow \alpha =\lambda A^{-1}\alpha

\frac{1}{\lambda }\alpha =A^{-1}\alpha\rightarrow A^{-1}\alpha=\frac{1}{\lambda }\alpha

这不就是定义么

6、A矩阵的伴随矩阵的特征值为\frac{\left | A \right |}{\lambda }(\lambda \neq 0)，且特征向量为\alpha

证明：很简单，\left | A \right |A^{-1}=A^{*}

\left | A \right |A^{-1}\alpha=\frac{\left |A \right |}{\lambda }\alpha\rightarrow A^{*}\alpha=\frac{\left |A \right |}{\lambda }\alpha

7、kA（A为矩阵）的特征值为k\lambda， 且特征向量为\alpha

证明：很简单

A\alpha =\lambda \alpha \rightarrow (kA)\alpha=(k\lambda) \alpha

8、A^{k}的特征值为\lambda ^{k}，且特征向量为\alpha

证明：也很简单，跟上面差不多

A^{k}\alpha =A^{k-1}*A\alpha =A^{k-1}*\lambda \alpha=\lambda A^{k-1}\alpha

不断的将A的次方脱下来，可以得到

A^{k}\alpha =\lambda ^{k}\alpha

9、若f(A)是A矩阵的一个多项式函数，那么f(A)的特征值为f(\lambda )，且特征向量为\alpha

证明：还是依靠定义，其实就跟上述的8一样的操作

10、A^{T}的特征值还是\lambda，但是它的特征向量跟\alpha没啥关系

证明：使用求特征值的公式

\left | A^{T}-\lambda E \right |=\left | A^{T}-\lambda E^{T} \right |=\left | (A-\lambda E)^{T} \right |=\left | A-\lambda E \right |=0

所以他们的解应该是完全一样的

11、P^{-1}AP的 特征值还是\lambda，特征向量为P^{-1}\alpha

证明：

P^{-1}AP (P^{-1}\alpha )=P^{-1}A\alpha =P^{-1}\lambda \alpha=\lambda (P^{-1}\alpha)

即P^{-1}AP (P^{-1}\alpha )=\lambda (P^{-1}\alpha)

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