简单线性回归：预测事物间简单关系的利器

简介

在数据科学领域，线性回归是一种基本而强大的统计分析方法。它广泛应用于各个领域，从经济学到生物医学研究，从市场营销到城市规划，目的是建立和利用变量之间的简单关系，以便预测未来趋势或做出决策。在本文中，我们将深入探讨简单线性回归的工作原理、应用场景和使用步骤，以帮助您更好地理解和应用这一强大的分析工具。

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什么是简单线性回归？

简单线性回归是一种线性回归模型的基本形式，用于分析两个变量之间的关系。其中一个变量被称为“自变量”或“预测变量”，而另一个变量被称为“因变量”或“响应变量”。简单线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，即以自变量的值来预测因变量的值。

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简单线性回归的应用场景

• 预测销售量：根据广告投入金额预测产品销售量。
• 理解变量之间的关系：比如研究学习时间和考试分数之间是否存在正相关关系。
• 预测趋势：根据过去几年的数据，预测未来的市场趋势。

使用步骤：

• 收集数据：收集包含自变量和因变量的样本数据。
• 数据预处理：对数据进行清洗，去除异常值或缺失数据。
• 绘制散点图：可视化数据以了解自变量和因变量之间的总体关系。
• 拟合回归线：使用最小二乘法拟合一条直线，使其最好地拟合数据分布。
• 解释结果：根据回归线的斜率和截距解释变量之间的关系。
• 进行预测：利用已知自变量的值，通过回归方程预测因变量的值。

注意事项：

• 线性回归模型可能不适用于非线性关系的数据。
• 数据的质量对于回归分析的准确性至关重要，要确保数据的准确性和一致性。
• 线性回归模型的结果需要进行合理的解释和验证。

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代码演示

上代码前我们可以先了解一下最小二乘法

最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据点与数学模型之间的关系。它的目标是通过调整模型的参数，使模型预测值与实际观测值之间的误差的平方和最小化。这种方法广泛应用于统计学、机器学习、工程学和自然科学等领域，用于分析和拟合数据，寻找数据背后的模式和趋势。

最小二乘法的基本思想是，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来找到最优的模型参数。残差是指每个观测值与对应模型预测值之间的差异。通过求解最小化残差平方和的问题，可以得到最优的模型参数。

公式的推导可以看这位大佬的文章https://blog.csdn.net/weixin_40255714/article/details/125841394

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.array([1,2,3,4,5])
y = np.array([1,3,2,3,5])
plt.scatter(x,y)
plt.axis([0,6,0,6])
plt.show()
#  y = a*x+b  需要计算出a和b
x_mean = np.mean(x)
y_mean = np.mean(y)
num = 0.0 # 分子
d = 0.0  #  分母
for x_i,y_i in zip(x,y):
    num += (x_i-x_mean)*(y_i-y_mean)
    d += (x_i-x_mean)**2
a = num/d
b = y_mean-a*x_mean

a和b求出来之后，我们就可以进行绘制一下，记住这里指的是找到一条直线，使得每一个点的预测值和真实值之差达到最小

预测就很简单了，带入求值即可

结论

简单线性回归是一种简单而有效的分析方法，可用于预测和理解变量之间的关系。通过收集和处理数据，我们可以建立一个可靠的回归模型，从而进行预测和决策。但要注意变量之间的线性关系是否真实存在，并且合理解释结果。希望本文对您理解简单线性回归有所帮助，并且能够在您的实际问题中应用这一强大的分析工具。

挑战与创造都是很痛苦的，但是很充实。