【JS 线性代数算法之向量与矩阵】

线性代数是数学的一个分支，用于研究线性方程组及其解的性质、向量空间及其变换的性质等。在计算机科学领域中，线性代数常用于图形学、机器学习、计算机视觉等领域。本文将详细介绍 JS 中常用的线性代数算法，并提供代码示例。

一、向量的加减乘除

向量是有大小和方向的量，通常用一列数表示。向量的加减乘除运算也是线性代数中的基本运算。

1. 向量加法

向量加法计算两个向量相加的结果。

例如：给定两个二维向量：

$$a=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$$

则它们的和为：

$$a+b=\left[\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right]$$

代码实现：

function addVectors(a, b) {
  if (a.length !== b.length) return null;
  return a.map((n, i) => n + b[i]);
}

2. 向量减法

向量减法计算两个向量相减的结果。

例如：给定两个三维向量：

a ⃗ = [ 1 3 2 ] , b ⃗ = [ 4 1 5 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} a = ​132​ ​,b = ​415​ ​

则它们的差为：

a ⃗ − b ⃗ = [ − 3 2 − 3 ] \vec{a}-\vec{b}=\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} a −b = ​−32−3​ ​

代码实现：

function subtractVectors(a, b) {
  if (a.length !== b.length) return null;
  return a.map((n, i) => n - b[i]);
}

3. 向量数乘

向量数乘是将一个向量的每个元素乘以一个标量。

例如：给定一个三维向量：

a ⃗ = [ 1 3 2 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} a = ​132​ ​

则它乘以标量 $k=2$ 的结果为：

k a ⃗ = 2 [ 1 3 2 ] = [ 2 6 4 ] k \vec{a}=2\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix} ka =2 ​132​ ​= ​264​ ​

代码实现：

function scalarMultiply(vector, scalar) {
  return vector.map(n => n * scalar);
}

4. 向量点积

向量点积（也称为内积或数量积）计算两个向量的乘积的和。

例如：给定两个三维向量：

a ⃗ = [ 1 3 2 ] , b ⃗ = [ 4 1 5 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} a = ​132​ ​,b = ​415​ ​

则它们的点积为：

$$a\cdot b=1\times 4+3\times 1+2\times 5=17$$

代码实现：

function dotProduct(a, b) {
  if (a.length !== b.length) return null;
  return a.reduce((sum, n, i) => sum + n * b[i], 0);
}

5. 向量叉积

向量叉积（也称为外积或向量积）计算两个向量的垂直于它们所在平面的法向量。向量叉积只适用于三维向量。

例如：给定两个三维向量：

a ⃗ = [ 1 3 2 ] , b ⃗ = [ 4 1 5 ] \vec{a}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} a = ​132​ ​,b = ​415​ ​

则它们的叉积为：

a ⃗ × b ⃗ = [ 13 3 − 11 ] \vec{a} \times \vec{b}=\begin{bmatrix} 13 \\ 3 \\ -11 \end{bmatrix} a ×b = ​133−11​ ​

代码实现：

function crossProduct(a, b) {
  if (a.length !== 3 || b.length !== 3) return null;
  const [ax, ay, az] = a;
  const [bx, by, bz] = b;
  return [ay * bz - az * by, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx];
}

二、矩阵的加减乘除

矩阵是由若干行若干列的数排成的矩形阵列，通常用两个下标表示。矩阵的加减乘除运算也是线性代数中的基本运算。

1. 矩阵加法

矩阵加法计算两个矩阵相加的结果。

例如：给定两个 $2\times 2$ 的矩阵：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$$

则它们的和为：

$$\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$

代码实现：

function addMatrices(a, b) {
  if (a.length !== b.length || a[0].length !== b[0].length) return null;
  return a.map((row, i) => row.map((n, j) => n + b[i][j]));
}

2. 矩阵减法

矩阵减法计算两个矩阵相减的结果。

例如：给定两个 $3\times 3$ 的矩阵：

[ 1 3 2 4 8 5 6 1 2 ] , [ 2 1 5 3 6 4 1 7 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 8 & 5 \\ 6 & 1 & 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & 6 & 4 \\ 1 & 7 & 3 \end{bmatrix} ​146​381​252​ ​, ​231​167​543​ ​

则它们的差为：

[ − 1 2 − 3 1 2 1 5 − 6 − 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 5 & -6 & -1 \end{bmatrix} ​−115​22−6​−31−1​ ​

代码实现：

function subtractMatrices(a, b) {
  if (a.length !== b.length || a[0].length !== b[0].length) return null;
  return a.map((row, i) => row.map((n, j) => n - b[i][j]));
}

3. 矩阵数乘

矩阵数乘是将一个矩阵的每个元素乘以一个标量。

例如：给定一个 $2\times 2$ 的矩阵：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right]$$

则它乘以标量 $k=2$ 的结果为：

$$2\times \left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 4& 10\end{array}\right]$$

代码实现：

function scalarMultiplyMatrix(matrix, scalar) {
  return matrix.map(row => row.map(n => n * scalar));
}

4. 矩阵乘法

矩阵乘法计算两个矩阵相乘的结果。矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。即 $A\times B\ne B\times A$。

例如：给定两个 $2\times 3$ 和 $3\times 2$ 的矩阵：

[ 1 2 3 4 5 6 ] , [ 7 8 9 10 11 12 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12\end{bmatrix} [14​25​36​], ​7911​81012​ ​
以下是两个 2×3 和 3×2 矩阵的乘法的 JavaScript 代码示例：

// 2x3 矩阵
const matrixA = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6]
];

// 3x2 矩阵
const matrixB = [
  [7, 8],
  [9, 10],
  [11, 12]
];

// 2x2 结果矩阵
const resultMatrix = [
  [0, 0],
  [0, 0]
];

// 矩阵乘法
for (let i = 0; i < 2; i++) {
  for (let j = 0; j < 2; j++) {
    let sum = 0;
    for (let k = 0; k < 3; k++) {
      sum += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];
    }
    resultMatrix[i][j] = sum;
  }
}

// 输出结果
console.log(resultMatrix);

输出结果为：

[
  [58, 64],
  [139, 154]
]

上述代码中，我们首先定义了两个矩阵 matrixA 和 matrixB，然后定义了一个结果矩阵 resultMatrix，该矩阵的大小为 2×2。

接下来，我们通过三层循环实现了矩阵乘法。外层两个循环控制结果矩阵的行列数，内层循环计算结果矩阵中每个元素的值。

最后，我们输出了结果矩阵的值。

常用数学库

在 JavaScript 中实现线性代数算法需要使用数学库，比如 Math.js 或者 NumJS。

以下是 Math.js 的示例代码：

// 创建矩阵
const matrix1 = math.matrix([[1, 2], [3, 4]]);
const matrix2 = math.matrix([[5, 6], [7, 8]]);

// 加法
const addResult = math.add(matrix1, matrix2);
console.log(addResult); // 输出 [[6, 8], [10, 12]]

// 矩阵乘法
const multiplyResult = math.multiply(matrix1, matrix2);
console.log(multiplyResult); // 输出 [[19, 22], [43, 50]]

// 转置
const transposeResult = math.transpose(matrix1);
console.log(transposeResult); // 输出 [[1, 3], [2, 4]]

// 求逆矩阵
const inverseResult = math.inv(matrix1);
console.log(inverseResult); // 输出 [[-2, 1], [1.5, -0.5]]

以上是一些常见的线性代数算法的示例代码。使用数学库可以方便地实现复杂的线性代数计算。