计算机图形学-扫描转换直线段-直线方程法-DDA算法-中点算法-OPENGL实现-详解

扫描转换直线段

  • 说明与环境配置
    • 环境配置
  • 扫描转换直线段
    • 方法一: 直线方程法
      • 代码描述: 算法比较简单, 暂无代码.
    • 方法二: 数字差分分析DDA算法
      • 代码描述:
    • 方法三: 中点算法
      • 代码描述:
  • 所有代码下载与效果展示:

说明与环境配置

生成一个线段的方法主要有三种:

  1. 直线方程法
  2. 数字差分分析DDA算法
  3. 中点算法, (Bresenham 算法)
    我所采用的实现方式:
    OPENGL1.1库 + VS2019

环境配置

https://blog.csdn.net/BoyInC0de/article/details/90079870

扫描转换直线段

方法一: 直线方程法

该方法根据直线的几何方程来群定线段路径上的像素位置

方程: y = m x + b y=mx + b y=mx+b
通俗来讲, 只要确定   m \ m  m   b \ b  b, 就可以通过不断将   x i \ x_i  xi代入方程计算像素   ( x i , y i ) \ (x_i, y_i)  (xi,yi)的值

那么对于区间   [ x 0 , x 1 ] \ [x_0,x_1]  [x0,x1]只要将其离散化到   k 0 , k 1 . . . . k n \ k_0,k_1....k_n  k0,k1....kn,
其中   k i + 1 = k i + 1 , k 0 = x 0 , k n = x 1 \ k_{i+1} = k_i+1, k_0=x_0, k_n=x_1  ki+1=ki+1,k0=x0,kn=x1
我们就可以通过   y i = m x i + b \ y_i=mx_i+b  yi=mxi+b计算纵坐标
然后通过取整得到   y \ y  y坐标
取整:
{ ( k i , y i ) } i = 0 n → { ( k i , y i , r ) } i = 0 n \left\{ (k_i,y_i) \right\}_{i=0}^n \to \left\{ (k_i,y_{i,r}) \right\}_{i=0}^n {(ki,yi)}i=0n{(ki,yi,r)}i=0n
  y i , r = r o u n d ( y i ) = ( i n t ) ( y i + 0.5 ) \ y_{i,r} = round(y_i)=(int) (y_i + 0.5)  yi,r=round(yi)=(int)(yi+0.5)
和后两种算法相比, 该算法具有很明显的弊端.
运算特点: 乘法+加法+取整 浮点运算

代码描述: 算法比较简单, 暂无代码.

方法二: 数字差分分析DDA算法

方法:
y i + 1 = m x i + 1 + b = m ( x i + 1 ) + b = m x i + b + m = y i + m \begin{aligned} y_{i+1} & = mx_{i+1}+b \\ & = m(x_i+1) + b \\ & = mx_i + b + m \\ & = y_i + m \\ \end{aligned} yi+1=mxi+1+b=m(xi+1)+b=mxi+b+m=yi+m

运算特点: 加法+取整 浮点运算

代码描述:

void CALLBACK draw(){     //都是全局变量
		glColor3f(rc, gc, bc);
		m = (float)dy / dx;
		y = y_0;
		for (x = x0; x <= x1; x++) {
			glBegin(GL_POINTS);
			glVertex2i(x,(int)(y+0.5));
			glEnd();
			y += m;
		}
		glFinish();
}

方法三: 中点算法

方法:
直线的隐式方程: F ( x , y ) = A x + B y + C = 0 F(x,y)=Ax+By+C=0 F(x,y)=Ax+By+C=0
该式中:
A = y 0 − y 1 = − Δ y B = x 1 − x 0 = Δ x C = x 0 ∗ y 1 − x 1 ∗ y 0 \begin{aligned} A &= y_0 - y_1 = -\Delta y \\ B &= x_1 - x_0 = \Delta x \\ C &= x_0 * y_1 - x_1*y_0 \\ \end{aligned} ABC=y0y1=Δy=x1x0=Δx=x0y1x1y0
直线具有正负划分性,
直线上方的点:   F ( x , y ) > 0 \ F(x,y) \gt 0  F(x,y)>0
直线下方的点:   F ( x , y ) < 0 \ F(x,y) \lt 0  F(x,y)<0
直线上的点:   F ( x , y ) = 0 \ F(x,y) = 0  F(x,y)=0

有了正负划分性, 我们可以想象像素点组成了一条蛇, 它沿着直线, 在直线两侧游走.
一会大于0, 一会小于0.

那么这条蛇的出发点就是   ( x 0 , y 0 ) \ (x_0,y_0)  (x0,y0), 那么它的下一个点应该是什么呢?
也就是说根据   ( x i , y i , r ) \ (x_i,y_{i,r})  (xi,yi,r) 如何确定他的下一个像素点   ( x i + 1 , y i + 1 , r ) \ (x_{i+1},y_{i+1,r})  (xi+1,yi+1,r), (y_{i,r}是取整后的坐标)

这里我们根据所取点间的中点M与直线的位置构造一个函数判别式:
d = F ( M ) = F ( x i + 1 , y i , r + 0.5 ) d=F(M)=F(x_i+1,y_{i,r}+0.5) d=F(M)=F(xi+1,yi,r+0.5)
这个函数的意义是 M点位于直线的上方还是下方, 也就是说, 算完   ( x i , y i , r ) \ (x_i,y_{i,r})  (xi,yi,r)以后,   x i \ x_i  xi加上1也就是点   E \ E  E
再点E再向上加0.5个点位, 就是点   M \ M  M, 而我们只要将   M \ M  M坐标代入直线方程,
就可以根据正负来判断它是在直线上面还是下面

计算机图形学-扫描转换直线段-直线方程法-DDA算法-中点算法-OPENGL实现-详解_第1张图片

  1. 如果   d ≥ 0 \ d\geq0  d0, 中点M在线段上方, 取点E
  2. 如果   d < 0 \ d\lt0  d<0, 中点M在线段下方, 取点NE

接下来取包括初始点在内的连续三个点, 做一个计算, 参考图:
计算机图形学-扫描转换直线段-直线方程法-DDA算法-中点算法-OPENGL实现-详解_第2张图片
初始点:   ( x 0 , y 0 ) \ (x_0,y_0)  (x0,y0) , 中点:   M ( x 0 + 1 , y 0 + 0.5 ) \ M(x_0+1,y_0+0.5)  M(x0+1,y0+0.5) 代入   F ( x , y ) \ F(x,y)  F(x,y)
设 d = F ( x 0 + 1 , y 0 + 0.5 ) = A ( x 0 + 1 ) + B ( y 0 + 0.5 ) + C = ( y 0 − y 1 ) ( x 0 + 1 ) + ( x 1 − x 0 ) ( y 0 + 0.5 ) + x 0 y 1 − x 1 y 0 = y 0 − y 1 + 0.5 ( x 1 − x 0 ) = A + 0.5 B \begin{aligned} 设d=F(x_0+1,y_0+0.5) &= A(x_0+1) + B(y_0 + 0.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+1)+(x_1-x_0)(y_0+0.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &= y_0-y_1+0.5(x_1-x_0) \\ &= A+0.5B \end{aligned} d=F(x0+1,y0+0.5)=A(x0+1)+B(y0+0.5)+C=(y0y1)(x0+1)+(x1x0)(y0+0.5)+x0y1x1y0=y0y1+0.5(x1x0)=A+0.5B
接下来判定再下一个像素,   ( x i + 2 , y i + 1 , r ) \ (x_{i}+2, y_{i+1,r})  (xi+2,yi+1,r)
第一种情况上一点的:   d ≥ 0 \ d\geq0  d0:
初始点:   ( x 0 , y 0 ) \ (x_0,y_0)  (x0,y0) , 第一个点:   M ( x 0 + 1 , y 0 ) \ M(x_0+1,y_0)  M(x0+1,y0), 那么第二个点   ( x 0 + 2 , y 0 + 0.5 ) \ (x_0+2,y_0+0.5)  (x0+2,y0+0.5) 代入F(x,y)
F ( x 0 + 2 , y 0 + 0.5 ) = A ( x 0 + 2 ) + B ( y 0 + 0.5 ) + C = ( y 0 − y 1 ) ( x 0 + 2 ) + ( x 1 − x 0 ) ( y 0 + 0.5 ) + x 0 y 1 − x 1 y 0 = ( y 0 − y 1 ) + 0.5 ( x 1 − x 0 ) + ( y 0 − y 1 ) = A + 0.5 B + A = d + A \begin{aligned} F(x_0+2,y_0+0.5) &= A(x_0+2) + B(y_0 + 0.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+2)+(x_1-x_0)(y_0+0.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &=(y_0-y_1)+0.5(x_1-x_0) + (y_0 - y_1) \\ &= A+0.5B+A \\ &=d + A \end{aligned} F(x0+2,y0+0.5)=A(x0+2)+B(y0+0.5)+C=(y0y1)(x0+2)+(x1x0)(y0+0.5)+x0y1x1y0=(y0y1)+0.5(x1x0)+(y0y1)=A+0.5B+A=d+A
第二种情况上一点的:   d < 0 \ d\lt0  d<0:
初始点:   ( x 0 , y 0 ) \ (x_0,y_0)  (x0,y0) , 第一个点:   M ( x 0 + 1 , y 0 + 0.5 ) \ M(x_0+1,y_0+0.5)  M(x0+1,y0+0.5), 那么第二个点   ( x 0 + 2 , y 0 + 1.5 ) \ (x_0+2,y_0+1.5)  (x0+2,y0+1.5) 代入F(x,y)
F ( x 0 + 2 , y 0 + 1.5 ) = A ( x 0 + 2 ) + B ( y 0 + 1.5 ) + C = ( y 0 − y 1 ) ( x 0 + 2 ) + ( x 1 − x 0 ) ( y 0 + 1.5 ) + x 0 y 1 − x 1 y 0 = y 0 − y 1 + 0.5 ( x 1 − x 0 ) + ( y 0 − y 1 ) + ( x 1 − x 0 ) = A + 0.5 B + A + B = d + A + B \begin{aligned} F(x_0+2,y_0+1.5) &= A(x_0+2) + B(y_0 + 1.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+2)+(x_1-x_0)(y_0+1.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &= y_0-y_1+0.5(x_1-x_0)+(y_0-y_1)+(x_1-x_0) \\ &= A+0.5B+A+B \\ &=d+A+B \end{aligned} F(x0+2,y0+1.5)=A(x0+2)+B(y0+1.5)+C=(y0y1)(x0+2)+(x1x0)(y0+1.5)+x0y1x1y0=y0y1+0.5(x1x0)+(y0y1)+(x1x0)=A+0.5B+A+B=d+A+B
观察第一种情况:   d \ d  d 的增量是   A \ A  A ( 即 − Δ y -\Delta y Δy )
观察第二种情况:   d \ d  d 的增量是   A + B \ A+B  A+B ( 即 − ( Δ y − Δ x ) -(\Delta y-\Delta x ) (ΔyΔx) )
那么采用归纳法:
d 0 = A + 0.5 B d i + 1 = { d i + A , d i > 0 d i + A + B , d i ≤ 0 \begin{aligned} d_0 &= A+0.5B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + A, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + A+B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \end{aligned} d0di+1=A+0.5B={di+A,di+A+B,di>0di0
接下来做一个优化: 用2d来代替d
增量都是整数, 只有初始值包含小数, 可以用2d代替d, 2a改写成a + a
这样一来, 算法中只有整数变量, 不含乘除法, 可用硬件实现.

但是, 这只是斜率 0 ≤ m ≤ 1 0\leq m\leq 1 0m1的情况
按照上面的归纳法, 通过计算, 便可以得到以下方程:

0 ≤ m ≤ 1 0\leq m\leq 1 0m1:
d 0 = 2 A + B d i + 1 = { d i + 2 A , d i > 0 d i + 2 A + 2 B , d i ≤ 0 d i < 0 时 , y 增 1 \begin{aligned} d_0 &= 2A+B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A+2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\lt 0时, y增1 \end{aligned} d0di+1di=2A+B={di+2A,di+2A+2B,di>0di0<0,y1

m > 1 m\gt 1 m>1:
d 0 = A + 2 B d i + 1 = { d i + 2 A + 2 B , d i > 0 d i + 2 B , d i ≤ 0 d i > 0 时 , x 增 1 \begin{aligned} d_0 &= A+2B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A +2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i +2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\gt 0时, x增1 \end{aligned} d0di+1di=A+2B={di+2A+2B,di+2B,di>0di0>0,x1

− 1 ≤ m ≤ 0 -1\leq m\leq 0 1m0:
d 0 = 2 A − B d i + 1 = { d i + 2 A − 2 B , d i > 0 d i + 2 A , d i ≤ 0 d i > 0 时 , y 减 1 \begin{aligned} d_0 &= 2A-B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A-2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\gt 0时, y减1 \end{aligned} d0di+1di=2AB={di+2A2B,di+2A,di>0di0>0,y1

m < − 1 m\lt -1 m<1:
d 0 = A − 2 B d i + 1 = { d i − 2 B , d i > 0 d i + 2 A − 2 B , d i ≤ 0 d i < 0 时 , x 增 1 \begin{aligned} d_0 &= A-2B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i - 2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A - 2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\lt 0时, x增1 \end{aligned} d0di+1di=A2B={di2B,di+2A2B,di>0di0<0,x1

代码描述:

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
//添加这3条语句
#pragma comment (lib, "opengl32.lib")  
#pragma comment (lib, "glu32.lib")  
#pragma comment (lib, "glaux.lib")  
//#pragma comment( linker, "/subsystem:\"windows\" /entry:\"mainCRTStartup\"" ) //这句是不让控制台窗体出现,如果想要出现,去掉即可。
inline void init() //初始化
{
	glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);//黑色背景
}
//绘制图形函数
float r = 1, g = 0, b = 0;
float x = 30.0f, y = 30.0f;
float R1, R2;
float pi = 3.1415926f;
int i;
int x0; int y_0; int x1; int y_1; float rc; float gc; float bc;

void CALLBACK draw()
{
	float dx = x1 - x0, dy = y_1 - y_0;
	float m = 0;
	if (dx != 0) m = dy / dx;
	else return;
		if (x0 > x1)
		{
			int t = x1; x1 = x0; x0 = t;
			t = y_1; y_1 = y_0; y_0 = t;
		}
		int d = 0;
		int d1 = d, d2 = d;
		int a = y_0 - y_1, b = x1 - x0, c = x0 * y_1 - x1 * y_0;
		glColor3f(rc, gc, bc);
		d = a + a + b;
		d1 = a + a;
		d2 = (a + b) + (a + b);
		int x = x0;
		int y = y_0;
		for (int i = x0; i < x1; i++)
		{
			if (d < 0)
			{
				y++;
				d += d2;
			}
			else d += d1;
			x++;
			glBegin(GL_POINTS);
			glVertex2i(x, y);
			glEnd();
		}
		glFinish();
}

void set(int x0, int y_0, int x1, int y_1, float rc, float gc, float bc) {
	::x0 = x0;	::x1 = x1;	::y_0 = y_0;	::y_1 = y_1;	::rc = rc;	::gc = gc;	::bc = bc;  
}

void CALLBACK change(){
	set(100, 500, 350, 550, 0.0f, 1.0f, 0.0f); 	draw();
}

void main()
{
	auxInitDisplayMode(AUX_SINGLE | AUX_RGBA);
	auxInitPosition(100, 0, 1000, 1000);
	auxInitWindow("CGOpenGL");
	init();
	auxIdleFunc(change);
	auxMainLoop( draw );
}

所有代码下载与效果展示:

该代码采用包含直线段绘制的两种算法:
**中点算法, 和 DDA算法. **
分别采用两种算法描绘出4种不同斜率的直线, 外加一条单独处理的垂直x轴的直线. 有明确的注释.
虽然OpenGL1.1库文件较老, 但不论是对于教学还是实践, 对理解直线段算法都具有重要意义.

下载地址: https://download.csdn.net/download/boyinc0de/11206604

效果展示:

其中左侧图形为: 中点算法绘制
中间竖线为: 特殊处理
右侧图形为: DDA算法绘制
计算机图形学-扫描转换直线段-直线方程法-DDA算法-中点算法-OPENGL实现-详解_第3张图片

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