2021-06-14-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P48 例6）
集合.试作出的三元子集族,满足:
(1)的任一二元子集至少被族中的一个三元子集包含;
(2).
解
先证明下面的引理:
引理
对,集合的全部二元子集可分成组,且每组是的一个分划.
引理的证明:如图,将这个数按顺时针方向放到一个正边形的顶点上,数放在外接圆圆心.
连结与,作条以边形顶点为端点且垂直于1与连线的线段,便得到的个二元子集构成的一个分划,将与1的连线依次顺时针旋转,作出相应的图及的个二元子集.
这样,的全部个二元子集被分成组,且每组个集合构成的一个分划.
下面来作满足题设的子集族:
令,,,由引理,的全部二元子集可分成组,每组是的一个分划,将其中一组重复一次,得到的个分划,让其中每个分划与的一个元素搭配作出个的三元子集.
类似地,作出的个二元子集构成的分划,包含的全部二元子集,让其中每个分划与的一个元素搭配作出个的三元子集;作出的个二元子集构成的分划,包含的全部二元子集,让其中每个分划与的一个元素搭配作出个的三元子集.
上面得到的个的三元子集组成的族满足题设要求.
2021-06-14-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P49 例7）
集合,是的一族非空子集,当时,至多有两个元素.求的最大值.
分析
集合的一元、二元、三元子集显然符合要求.而的任一多于元的子集必包含了的三元子集,故与其包含的三元子集不能同在题
中的子集族内.
解
首先至多含3个元素的的非空子集有
这些集合的交集至多有两个元素,否则两集合相等,矛盾.因此.
下而证明.
设为满足题设的子集族,若,且,设,则与不能同时含于,以代,则中元素数目不变.
仿此对中所有元素数目多于4的集合作相应替代,替代后子集族中的每个集合都是元素数目不多于3的非空集合.故.
所以,的最大值为175.
2021-06-14-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P49 例8）
设满足:对任何整数及中任意数、(、可以相同),均不是两个相邻整数之积.试定出所含元素个数最多的.
分析
因为当时,均不是两个相邻整数之积,故我们只需考察被除的余数.
解
所求为.
设满足题中条件且最大.因为两个相邻整数之积被除,余数为0,2,6,12,20,26.则对任一,有,即,因此,,后一集合可分拆成下列10个子集的并,其中每一个子集至多有一个元素包含在中:,故.
若,则每个子集恰好有一个元素包含在中,因此,,.
由知,从而,这样,,.因此,,.
由知,,从而,,这样,,因此,.
综上所述,有,此集合确实满足要求.