[学习笔记] 分拆数的几种求法

• 对分拆数的多种求法做了简单的整理。

问题

• 令 $f_n$ 表示将 $n$ 进行分拆的方案数。
• 例如，$1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2=4$ ，所以 $f_4=5$ 。
• 给出 $n\le 10^5(n\le 10^5)$，求 $f_1,f_2,...,f_n$ 对 $998244353$ 取模。

算法一

• 考虑根号分治，设 $S=\sqrt{n}$。
• 对于 $>S$ 的数，设 $g_{i,j}$ 表示选了 $i$ 个数总和为 $i(S+1)+j$ 的方案数，转移有两种：
  1. 新加入一个数，初始值为 $S+1$：$g_{i,j}+=g_{i-1,j}$；
  2. 给之前选的所有数 +1： $g_{i,j}+=g_{i,j-i}$。
• 不难发现，这样转移对于每一种拆分都有唯一的构造方式，并且第一维只有 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 级别，时间复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt{n})$。
• 求出 $>S$ 的数的 $\text{DP}$ 数组后，对于 $\le S$ 的数，暴力背包 $\text{DP}$ 即可，总的时间复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt{n})$。
• 这应该是最为通用的做法，常数也比较小。

算法二

• 令 $f_0=1$，考虑 $f_i$ 的生成函数
  $$\begin{array}{rl}F(x)& =\sum _{i=0}^{\infty }{f}_i{x}^i\\ & =\prod _{i=1}^{\infty }\frac{1}{1-x^i}\\ & =\exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }\ln \frac{1}{1-x^i}\right)\end{array}$$
• 注意到
  $$\begin{array}{rl}\ln \frac{1}{1-x^i}& =\int (1-x^i){\left(\frac{1}{1-x^i}\right)}^{\prime }dx\\ & =\sum _{j=1}^{\infty }{x}^{ij}-\sum _{j=2}^{\infty }\frac{j-1}{j}{x}^{ij}\\ & =\sum _{j=1}^{\infty }\frac{x^{ij}}{j}\end{array}$$
• 所以
  $$\begin{array}{r}F(x)=\exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\frac{x^{ij}}{j}\right)\end{array}$$
• 可以 $\mathcal{O}(n\ln n)$ 预处理出内部系数，再 $\exp$ 回去。
• 总的时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$。

算法三

• 还是算法二中的生成函数，由 五边形数定理 得：
  $$\begin{array}{r}\varphi (x)=\prod _{i=1}^{\infty }(1-x^i)=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k{x}^{\frac{k(3k-1)}{2}}\end{array}$$
• 这里直接引用 visit_world博客中的证明。
• 由于 $\varphi (x)F(x)=1$，可以直接多项式求逆，时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$。
• 还有一种更简单的方法， 注意到 $\varphi (x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n+1})$ 中系数不为 $0$ 的项只有 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 个，暴力模拟求逆即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt{n})$。