[学习笔记] 线性筛求欧拉函数

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• 先放上线性筛的代码。

for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) pri[++pr] = i;
        for (int j = 1; j <= pr; ++j)
        {
            if (1ll * pri[j] * i > n) break;
            vis[pri[j] * i] = true;
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }

• 其实去掉下面这行代码就和一般的筛法差不多了：

if (i % pri[j] == 0) break;

• 证明直接引用吧：

  pri[] p r i [ ] 数组中的素数是递增的，当 i i 能整除 pri[j] p r i [ j ] ，那么 i×pri[j+1] i × p r i [ j + 1 ] 这个合数肯定被 pri[j] p r i [ j ] 乘以某个数筛掉。
  因为 i i 中含有 pri[j] p r i [ j ] ， pri[j] p r i [ j ] 比 pri[j+1] p r i [ j + 1 ] 小，即 i=k×pri[j] i = k × p r i [ j ] 。
  那么 i×pri[j+1]=(k×pri[j])×pri[j+1]=k′×pri[j] i × p r i [ j + 1 ] = ( k × p r i [ j ] ) × p r i [ j + 1 ] = k ′ × p r i [ j ] 。
  接下去的素数同理，所以不用筛下去了。
  因此，每个合数只会被它的最小质因子筛去。

• 时间复杂度 O(n) O ( n ) 。

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• 接下来使用线性筛求 φ(n) φ ( n ) 。

inline void solve()
{
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) pri[++pr] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= pr; ++j)
        {
            if (1ll * pri[j] * i > n) break;
            int tmp = pri[j] * i;
            vis[tmp] = true;
            if (i % pri[j] == 0) 
            {
                phi[tmp] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            phi[tmp] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}

• 容易知道：
  
  • 若 n n 为质数，φ(n)=n−1 φ ( n ) = n − 1 。
  • φ(n) φ ( n ) 为积性函数，若 n,m n , m 互质， φ(nm)=φ(n)×φ(m) φ ( n m ) = φ ( n ) × φ ( m ) 。
• 实际上就对应代码中 i i 为质数 和 i%pri[j]≠0 i % p r i [ j ] ≠ 0 的情况了。
• 我们设 n=∏i=1mpqii(pi为n的质因子) n = ∏ i = 1 m p i q i ( p i 为 n 的 质 因 子 ) ，则 φ(∏i=1mpqii)=∏i=1m(pi−1)pqi−1i φ ( ∏ i = 1 m p i q i ) = ∏ i = 1 m ( p i − 1 ) p i q i − 1 。
• 那么若 i%pri[j]=0 i % p r i [ j ] = 0 ，令
  φ(i)=φ(pri[j]k×∏i=1mpqii)=(pri[j]−1)pri[j]k−1×∏i=1m(pi−1)pqi−1i φ ( i ) = φ ( p r i [ j ] k × ∏ i = 1 m p i q i ) = ( p r i [ j ] − 1 ) p r i [ j ] k − 1 × ∏ i = 1 m ( p i − 1 ) p i q i − 1
  ∴φ(i×pri[j])=φ(pri[j]k+1×∏i=1mpqii)=(pri[j]−1)pri[j]k×∏i=1m(pi−1)pqi−1i ∴ φ ( i × p r i [ j ] ) = φ ( p r i [ j ] k + 1 × ∏ i = 1 m p i q i ) = ( p r i [ j ] − 1 ) p r i [ j ] k × ∏ i = 1 m ( p i − 1 ) p i q i − 1
• 所以 φ(i×pri[j])=φ(i)×pri[j] φ ( i × p r i [ j ] ) = φ ( i ) × p r i [ j ] ，得证剩下一种情况。

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