如何理解“对矩阵进行初等行变换不改变其列向量的线性关系”？

对矩阵A进行初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵P。

把A看作是列向量组，若有Ax=0，则其中的x就说明了列向量的线性关系：
[ α 1 , α 2 , α 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 ] \left[ \alpha_1 ,\alpha_2, \alpha_3 \right] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix} [α1​,α2​,α3​] ​x1​x2​x3​​ ​=[0​]
$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3=0$$

若对A进行初等行变换后得到了$PAx=0$，知$Ax=0$与$PAx=0$同解，就说明了x也适用于矩阵$PA$的列向量之间的线性关系

所以 $A$ 与 $PA$ 的列向量有相同的线性关系。

此外，$PA$的行向量组与A的行向量组等价。把A看作是行向量组，若$PA=B$，有：
[ p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ β 1 β 2 β 3 ] = [ p 11 α 1 + p 12 α 2 + p 13 α 3 p 21 α 1 + p 22 α 2 + p 23 α 3 p 31 α 1 + p 32 α 2 + p 33 α 3 ] \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha _3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_{11}\alpha _{1}+p_{12}\alpha_2 +p_{13}\alpha _{3} \\ p_{21}\alpha _{1}+p_{22}\alpha_2+p_{23}\alpha_3 \\ p_{31}\alpha _{1}+p_{32}\alpha_2+p_{33}\alpha_3 \end{bmatrix} ​p11​p21​p31​​p12​p22​p32​​p13​p23​p33​​ ​ ​α1​α2​α3​​ ​= ​β1​β2​β3​​ ​= ​p11​α1​+p12​α2​+p13​α3​p21​α1​+p22​α2​+p23​α3​p31​α1​+p32​α2​+p33​α3​​ ​
可知矩阵B的每一个行向量都能用矩阵A的行向量进行线性表出。又由于矩阵P可逆，故$A=P^{-1}B$，同理可知矩阵A的每一个行向量也可由矩阵B的行向量进行线性表出。

因此矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。