Unity Shader学习二：矩阵的学习

（注意，由于CSDN里文档格式的显示问题，矩阵后的T 、-1等字段为矩阵的上标，数字和i，j，n等为矩阵的下标）

矩阵从外观上来看就是一个长方形网格，每个格子里放了一个数字，它是由m x n个标量组成的长方形数组。矩阵通常用于进行变换，比如在顶点着色器中，需要把顶点坐标从模型空间变换到齐次裁剪坐标系中。矩阵既然是网格结构，就意味着矩阵由行（row）列（column）之分，如m x n 矩阵表示矩阵由m行n列组成，

mij表明了这个元素在矩阵M的第i行，第j列。

矢量其实就是一个数组，矩阵也是一个数组，所以可以使用矩阵来表示矢量。实际上矢量可以看成是n x 1的列矩阵或1 x n的行矩阵。

矩阵的运算：

1.矩阵和标量的乘法

和矢量类似，矩阵也可以和标量相乘，它的结果仍然是一个相同维度的矩阵，它们的乘法就是矩阵的每个元素和该标量相乘，以3 x 3矩阵为例，公式如下：

2.矩阵和矩阵的乘法

两个矩阵相乘，它们的结果会是一个新的矩阵，新矩阵的维度和原来两个矩阵相关。

一个m x n的矩阵A和一个n x r的矩阵B相乘，它们的结果会是一个m x r的矩阵。两个矩阵相乘必须满足前一个矩阵的列数要等于后一个矩阵的行数，否则无法相乘。

若AB = C，新矩阵C的每一个元素Cij的值的计算公式为：Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + ... + AinBnj

这个公式简单来说就是对于每个元素可以Cij找到矩阵A中的第i行和矩阵B中的第j列，然后将它们对应的元素相乘然后相加，这个和就是Cij的值。

矩阵的乘法满足一些性质：

性质一：矩阵的乘法并不满足交换律，即AB≠BA

性质二：矩阵的乘法满足结合律，即（AB）C = A（BC）

一些特殊的矩阵：

1.方块矩阵

方块矩阵简称方阵，指那些行与列相等的矩阵，常用的就是3 x 3，4 x 4矩阵。

矩阵的某些性质与运算只有方阵具有，例如对角元素，矩阵的对角元素指的是行号与列号相等的元素，如m11、m22、m33等。如果一个矩阵除了对角元素外的所有元素都为0，那么这个矩阵就叫做对角矩阵。

2.单位矩阵

对角元素值都为1的对角矩阵是单位矩阵，用In表示。任意矩阵和单位矩阵相乘仍是原来的矩阵。

3.转置矩阵

转置矩阵实际上是对原矩阵的一种运算，即转置运算。给定一个r x c的矩阵M，它的转置可以表示称MT，这是一个c x r的矩阵。转置矩阵的计算非常简单，只需要把原矩阵翻转一下即可。也就是说原矩阵的第i行变成了第i列，而第j列变成了第j行，数学公式为：MTij = Mji

例如

对于行矩阵和列矩阵而言，可以使用转置操作来转换行列矩阵

转置矩阵也有一些常用的性质

性质一：转置矩阵的转置等于原矩阵，即（MT）T = M

性质二：矩阵串接的转置，等于反向串接各个矩阵的转置，即（AB）T = BTAT

4.逆矩阵

不是所有的矩阵都有逆矩阵，第一个前提就是这个矩阵必须是方阵。给定一个方阵M，它的逆矩阵用M-1来表示。逆矩阵最重要的性质就是如果把M和M-1相乘，结果将会是一个单位矩阵。即MM-1 = M-1M = I。

一个矩阵存在逆矩阵就可以说这个矩阵是可逆的或是非奇异的，如果一个矩阵不存在逆矩阵那它就是不可逆的或奇异的。

逆矩阵有很多重要的性质：

性质一：逆矩阵的逆矩阵是原矩阵，即（M-1）-1 = M。

性质二：单位矩阵的逆矩阵是它本身，即I-1 = I。

性质三：转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置，即（MT）-1 = （M-1）T

性质四：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵，即（AB）-1 = B-1A-1

逆矩阵是具有几何意义的。一个矩阵表示一个变换，而逆矩阵允许我们还原这个变换，或者说是计算这个变换的反向变换。

5.正交矩阵

另一个特殊的方阵就是正交矩阵。正交是矩阵的一种属性，如果一个方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，这个矩阵就是正交的，也就是说矩阵的正交等价于MMT = MTM = I

结合逆矩阵来看可以得到一个很重要的性质，即如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的，也就是说矩阵M的正交等价于MT=M-1，这个公式非常有用，在三维变换中经常会需要使用逆矩阵来求解反向的变换。

如何快速辨别一个矩阵是否为正交矩阵：

以3x3矩阵为例，根据正交矩阵的性质可知

其中C1，C2，C3 为矢量，在中分别表示第1，2，3行的元素，在中表示第1，2，3列的元素，计算时，第1行与第1列的结果等价于矢量C1与自身的点积C1•C1。

由上面的过程可得到几个等式C1•C1 = C2•C2 = C3•C3 = 1， C1•C2 = C1•C3 = C2•C1 = C2•C3 = C3•C1= C3•C2 = 0， 

由等式1可得C1，C2，C3 为单位.矢量（只有单位矢量点积自身结果为1），由等式2可得C1，C2，C3 互相垂直（两个单位矢量互相垂直，其点积为0）。

矢量该表示为行矩阵还是列矩阵

矢量可以表示为行矩阵或列矩阵，这是没有区别的，但是当它与矩阵进行相乘时就有差异了。当将矢量分别作为行矩阵与列矩阵与另一个矩阵相乘时，首先新矩阵的维度不同，其次个元素的值也不同。

在unity中，常规做法是把矢量放在矩阵的右侧，即将矢量当成列矩阵来使用，这意味着unity中矩阵乘法通常为右乘，如：CBAv = （C（B（Av）））其中ABC为矩阵，v为速度矢量当最列矩阵使用，表示v先使用矩阵A变换然后使用矩阵B变换，最后使用矩阵C进行变换。上面的列矩阵运算等价于下面的行矩阵运算：vATBTCT =（（（vAT）BT）CT）