【算法模板】dfs 八皇后问题

1.前言

 本文将以经典的八皇后问题来解析dfs的主要思想。

2.题目

题目出处：活动 - AcWing

 3.思路讲解

dfs的思想暗含树的历遍，主要步骤为：

判断是否搜索完毕---历遍寻找符合条件的元素---递归进入下一层搜索---还原现场

 我们可以先分析这个问题，发现皇后在每一行只能有一个，并且对角线，反对角线，每一排，每一列都只有一个皇后。

那么我们就可以从底层出发，遍历一排中的每一个元素，然后深入搜索下一排符合条件的元素，搜索到最后时，即是符合条件的第一个答案，回溯到第一排的下一个元素进行搜索。

由于dfs的灵魂是递归，所以递归的知识一定要掌握清楚。

4.代码实现

 参照以下网格来理解代码:

 

 

 该方法符合dfs的一般做法，当然算法是死的，人是活的，依照不同的题目，dfs的参数，形式等多种多样，不敢一板子把代码论死。要参照思想，具体情况具体分析，dfs最重要的便是顺序！！！

4.1 法1

#include 
using namespace std;
const int N = 20;

//定义图（网格）
char path[N][N];

//col记录每一列的皇后数，确保只有1个
//dg记录正对角线的皇后数，确保只有1个
//udg记录反对角线的皇后数，确保只有1个
bool col[N],dg[N],udg[N];

//网格数n
int n;

void dfs(int u)
{
    //搜索完毕，并且符合要求时打印
    if(u==n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            for(int j = 0; j < n; j++)
            {
                cout<>n;
    //先初始化网格，再由dfs确定皇后位置
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < n; j++)
        {
            path[i][j]='.';
        }
    }
    
    //从第0层开始（初始皇后数为0）
    dfs(0);
    
    return 0;
}

这里解释一下对角线的判定：

由直线方程y=（±）x+b；

我们想要一条对角线上的皇后只有一个，而一条直线上，截距是一样的，b = y ± x ；

但是由于数组的下标没有负数， y - x 有可能是负数，所以加上n，映射成正数！

如果（u）dg[ b ] 为真，那么该直线上已经有一个皇后。

4.2 法2

 

#include 
using namespace std;
const int N = 20;
char path[N][N];
//判断行，列，对角线
bool row[N],col[N],dg[N],udg[N];
int n;

void dfs(int x,int y,int s)
{
    //初始化条件
    if(y == n)
    {
        x++;
        y = 0;
    }
    if(x == n)
    {
        //搜素完毕，并且符合要求的条件
        if(s==n)
        {
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                puts(path[i]);
            }
            puts(" ");
        }

        return;
    }
    
    //初始化网格
    path[x][y]='.';
    dfs(x,y+1,s);
    
    //思路同法1
    if(!row[y]&&!col[x]&&!dg[x+y]&&!udg[y-x+n])
    {
        row[y]=col[x]=dg[x+y]=udg[y-x+n]=true;
        path[x][y]='Q';
        dfs(x,y+1,s+1);
        row[y]=col[x]=dg[x+y]=udg[y-x+n]=false;
        path[x][y]='.';        
    }
    
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(0,0,0);
    return 0;
}

但是法2在效率上远不如法1，因为在初始化回溯时进行搜索，浪费了很多不必要的搜索，只有当x，y回溯到0时才真正起到作用。

举此法是为了说明dfs的灵活性。

5.结语

 作为图论的必备入门技巧，要把握dfs的思想，并且熟练运用。

其实dfs更像一种循环，在if条件下找到不同层数的答案，完成搜索后继续下一个搜索，在不影响原来的数据的情况下输出答案。

后续会更新bfs的有关内容。