第一章，用行列式解线性方程组，03-四阶行列式，排列与逆序数

简介

这是《玩转线性代数》的学习笔记
少壮不努力，老大徒伤悲，学校里没学好，工作多年后又从头看，两行泪。。。

排列与逆序数

全排列

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列。
如3个不同元素1,2,3的所有可能排列有：
$$123,132,213,231,321,312,n个元素的排列数共p_n=n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ---\times 2\times 1个。$$

排列的标准次序

从小到大的排列规定为标准排列，或称标准顺序，或自然排列。

逆序

有两个元素的先后次序与标准排列不同，则构成逆序。

逆序数

一个排列$p_1{p}_2...p_n$中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，用$\tau (p_1{p}_2...p_n)$表示，具体计算可通过每个元素构成的逆序数求出来，即：
$$\tau (p_1{p}_2...p_n)=\tau (p_1)+\tau (p_2)+...+\tau (p_n)$$
例： 求排列53214的逆序数。
解： 标准顺序为12345,考虑到53和35是一个逆序，只需要计算每个元素前面比它大的元素个数之和：
$\tau (5)=0，\tau (3)=1，\tau (2)=2，\tau (1)=3，\tau (4)=1，则\tau (53214)=0+1+2+3+1=7。$
或者等价地，每个元素后面比它小的元素个数之和：
$\tau (5)=4，\tau (3)=2，\tau (2)=1，\tau (1)=0，\tau (4)=0，则\tau (53214)=4+2+1+0+0=7。$

奇排列和偶排列

逆序数为奇数的排列称为奇排列，为偶数的为偶排列。

对换

在一个排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，叫做对换，若两个相邻元素对换，称为相邻对换。

定理

一个排列中的任意两个元素对换，排列奇偶性改变。
证明可参考定理证明

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
理解：反过来看，标准排列逆序数为0，根据定理，每对换一次改变一次奇偶性，因此奇数次对换一定是奇排列，偶数次对换一定是偶排列。

四阶行列式的逆序数表示

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|=\Sigma (-1{)}^{\tau (p_1{p}_2{p}_3{p}_4)}{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}{a}_{3p_3}{a}_{4p_4}$$
其中，$p_1{p}_2{p}_3{p}_4$是1234的全排列，共有24种情况。
如$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right|$中含有$a_{11}{a}_{23}{a}_{34}{a}_{42}$的项符号为$(-1{)}^{\tau (1342)}=(-1{)}^2=1$，故符号为正，该项值为1。
令$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|,D_1=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ b_2& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ b_3& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ b_4& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|，...，D_4=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& b_3\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& b_4\end{array}\right|$
若$D\ne 0，则有x_1=\frac{D_1}{D}，x_2=\frac{D_2}{D}，x_3=\frac{D_3}{D}，x_4=\frac{D_4}{D}$