[Go版]算法通关村第十一关青铜——理解位运算的规则

数字在计算机中的表示：机器数、真值

• 机器数
  一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器树时带符号的，在计算机中用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1.
  比如：

  计算机字节长为8位，下面二进制就是机器数：
  十进制的 +3,转换成二进制就是 00000011
  十进制的 -3,转换成二进制就是 10000011
  

• 真值
  因为机器数第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
  所以为了好区别，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
  比如：

  0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1
  1000 0001 的真值 = -000 0001 = -1
  

对机器数进一步细化：原码、反码、补码

• 原码
  就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如如果是8位二进制：

  [+1] 原码 = 0000 0001
  [-1] 原码 = 1000 0001
  

  第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制的取值范围是：
  [1111 1111, 0111 1111]，即[-127, 127]

• 反码
  正数的反码是其本身，而负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。比如：

  [+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反
  [-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反
  

  可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。

• 补码
  在应用中，因为补码能保持加减运算的统一，因此应用更广，其表示方法是：

  • 正数的补码就是其本身；
  • 负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1（即：在反码的基础上+1）

  [+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补
  [-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补
  

  对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的，通常也需要转换成原码再计算其数值。

为何会有原码、反码和补码

看个例子，计算十进制的表达式: 1-1=0，首先看原码的表示：

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的，这也是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题就出现了反码，此时计算十进制的表达式为: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原
= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 
= [1111 1111]反 = [1000 0000]原 
= -0

可以看到用反码计算减法结果的真值部分是正确的，但是"0"的表示有点奇怪，+0和-0是一样的，而且0带符号是没有任何意义，而且要浪费[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码来表示0。于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
= [0000 0001]补 + [1111 1111]补 
= [0000 0000]补 = [0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示， 而以前出现问题的-0则不存在了，而且可以用[1000 0000]表示-128：

(-1) + (-127)
= [1000 0001]原 + [1111 1111]原 
= [1111 1111]补 + [1000 0001]补 
= [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128，我们正好可以用[1000 0000]来表示-128，这样使用补码表示的范围为[-128, 127]，这一点也比原码的[-127,127]好。

拓展一下，对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] ，这也是我们在应用中经常见到的定义方式。

为何计算机中的按位运算使用的是补码？

对于计算机中的按位运算，包括与操作（AND）、或操作（OR）、异或操作（XOR）等，使用补码表示是最为常见的，因为补码可以统一处理正数和负数，而且在进行数值运算时能够保持一致性。

• 统一性和一致性：补码表示法允许我们用同一种方式处理正数和负数。在补码中，负数的表示是通过正数的按位取反再加1来得到的。这就意味着无论是正数还是负数，在计算机内部都是用相同的机制进行表示和运算的，不需要针对正负数分别编写不同的逻辑。
• 溢出处理：在进行二进制运算时，可能会出现溢出。使用补码可以更方便地处理溢出情况。例如，当两个正数相加得到负数的情况，或者两个负数相加得到正数的情况，在补码中能够更自然地处理，无需额外的特殊逻辑。
• 零的表示：使用补码表示法，零的表示是唯一的，即所有位都是0，不管是正数还是负数的零。这样，进行与操作时，如果某一位是零，与任何数进行与操作都不会改变那一位的值。
• 简化硬件逻辑：使用补码可以简化硬件逻辑设计。在计算机内部，进行补码的加法、减法、与操作等都可以使用相同的电路结构，从而降低了硬件设计的复杂度。

综上所述，补码在计算机内部的数值表示和运算中具有很多优势，可以统一处理正数和负数、简化逻辑设计，并且处理溢出等情况更为方便。因此，在计算机中的位运算，如与操作，通常都是使用补码表示来进行的。

位运算规则

位运算主要有：与、或、异或、取反、左移和右移。其中左移和右移统称为移位运算，移位运算又分为算数移位和逻辑移位。

与、或、异或和取反

• 与运算符：& ，运算规则是：对于每个二进制位，两个数对应的位都是1时，结果为1，否则结果为0。（都是1为1，否则是0）

  0 & 0 = 0
  0 & 1 = 0
  1 & 0 = 0
  1 & 1 = 1
  

• 或运算符：| ，运算规则是：对于每个二进制位，两个数对应的为都是0时，结果为0，否则结果为1。（都是0为0，为否是1）

  0 | 0 = 0
  0 | 1 = 1
  1 | 0 = 1
  1 | 1 = 1
  

• 异或运算符：⊕（在代码中用∧ 表示异或），运算规则是：对于每个二进制位，两个数对应的位相同时，结果为 0，否则结果为 1。（相同为0，不同为1）

  0 ⊕ 0 = 0
  0 ⊕ 1 = 1
  1 ⊕ 0 = 1
  1 ⊕ 1 = 0
  

• 取反运算符：~ ，运算规则是：对一个数的每个二进制位进行取反操作，0变成1,1变成0。（每个位 0变1,1变0）

  ~0 = 1
  ~1 = 0
  

移位运算

• 左移运算符： <<，将全部二进制位向左移动若干位，高位丢弃，低位补 0。对于左移运算，算术移位和逻辑移位是相同的。

• 右移运算符： >>，将全部二进制位向右移动若干位，低位丢弃，高位的补位由算术移位或逻辑移位决定：

  • 算术右移时，高位补最高位；
  • 逻辑右移是，高位补0。

原始     0000 0110	6
右移一次：0000 0011	3 相当于除以2
左移一次：0000 1100	12 相当于乘以2

移位运算与乘除法的关系

观察上面的例子可以看到，移位运算可以实现乘除操作。由于计算机的底层的一切运算都是基于位运算实现的，因此使用移位运算实现乘除法的效率显著高于直接乘除法的。

左移运算对应乘法运算。将一个数左移 k位，等价于将这个数乘以 2^k。
例如，29 左移 2 位的结果是 116，等价于 29×4。当乘数不是 2 的整数次幂时，可以将乘数拆成若干项 2 的整数次幂之和，例如，a×6 等价于 (a<<2)+(a<<1)。对于任意整数，乘法运算都可以用左移运算实现，但是需要注意溢出的情况，例如在 8 位二进制表示下，29 左移 3 位就会出现溢出。

算术右移运算对应除法运算。将一个数右移 k 位，相当于将这个数除以 2^k。
例如，50 右移 2 位的结果是 12，等价于 50/4，结果向下取整。

从程序实现的角度，考虑程序中的整数除法，是否可以说，将一个数（算术）右移 k 位，和将这个数除以 2^k等价？
对于 0和正数，上述说法是成立的，整数除法是向 0 取整，右移运算是向下取整，也是向 0 取整。
但是对于负数，上述说法就不成立了，整数除法是向 0 取整，右移运算是向下取整，两者就不相同了。例如，(−50)>>2 的结果是 −13，而 (−50)/4 的结果是 −12，两者是不相等的。
因此，将一个数（算术）右移 k 位，和将这个数除以 2^k是不等价的。
算法出题这早就考虑到了这一点，因此在大部分算法题都将测试数据限制在正数和0的情况，因此可以放心的左移或者右移。

位运算常用技巧⭐️

位运算的性质有很多，此处列举一些常见性质，假设以下出现的变量都是有符号整数。

• 幂等律：a &a=a，a ∣ a=a（注意异或不满足幂等律）；

• 交换律：a & b=b & a，a ∣ b=b ∣ a，a⊕b=b⊕a；

• 结合律：(a & b) & c=a & (b & c)，(a ∣ b) ∣ c=a ∣ (b ∣ c)，(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)；

• 分配律：(a & b) ∣ c=(a ∣ c) & (b ∣ c)，(a ∣ b) & c=(a & c) ∣ (b & c)，(a⊕b) & c=(a & c)⊕(b & c)；

• 德摩根律：∼(a & b)=(∼a) ∣ (∼b)，∼(a ∣ b)=(∼a) & (∼b)；

• 取反运算性质：−1=∼0，−a=∼(a−1)；

  −1=~0 
  在计算机中，负数的表示通常使用二进制的补码表示法。
  -1 = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补
  0 =  [0000 0000]原 = [0000 0000]反 = [0000 0000]补
  							   ~0 = [1111 1111]补
  在这种特定情况下，-1与~0的二进制表示是相同的。
  

  −a=~(a−1)
  假设a的二进制表示是：00000101（即十进制的5）。
  
  考虑等式的右边：~(a - 1)
  那么(a - 1)的二进制表示就是00000100（即十进制的4）。
  对(a - 1)的每一位按位取反，得到：11111011。
  
  计算等式的左边：-a
  首先取a的每一位按位取反，得到：11111010。
  然后再加1，得到：11111011，与等式右边的结果相同。
  
  这个等式的成立是基于补码运算和按位取反的性质。
  

• 与运算性质：a & 0=0，a & (−1)=a，a & (∼a)=0；

  a & (−1)=a
  在二进制补码表示中，-1 的所有位都是1，即所有位取反后加1。
  -1 = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补
  无论 a 的某一位是0还是1，在与 -1 进行与操作后，结果的对应位都会保持不变。
  

  a & (~a)=0
  对于任意整数 a，按位取反操作 ~a 将 a 的每一位取反（0 变 1，1 变 0）
  如果 a 的某一位是 0，那么 ~a 的对应位是 1，所以在 & 运算中结果位为 0。
  如果 a 的某一位是 1，那么 ~a 的对应位是 0，所以在 & 运算中结果位也为 0。
  

• 或运算性质：a ∣ 0=a，a ∣ (∼a)=−1；

  a ∣ (~a)=−1
  对于任意整数 a，按位取反操作 ~a 将 a 的每一位取反（0 变 1，1 变 0）
  如果 a 的某一位是 0，那么 ~a 的对应位是 1，所以在 | 运算中结果位为 1。
  如果 a 的某一位是 1，那么 ~a 的对应位是 0，所以在 | 运算中结果位也为 1。
  

• 异或运算性质：a⊕0=a，a⊕a=0；

处理位操作时，还有很多技巧，不要死记硬背，理解其原理对解决相关问题有很大帮助。下面的示例中，1s和0s分别表示与x等长的一串1和一串0：

操作某个位的数据⭐️

如何获取、设置和更新某个位的数据，也有固定的套路。例如：

获取

该方法是将1左移 i 位，得到形如00010000的值。接着对这个值与num执行”位与“操作，从而将 i 位之外的所有位清零，最后检查该结果是否为零。不为零说明 i 位为1，否则 i 位为0。代码如下：

func getBit(num int, i int) bool {
	return num & (1 << i) != 0
}

设置

setBit先将1左移 i 位，得到形如00010000的值，接着堆这个值和num执行”位或“操作，这样只会改变 i 位的数据。这样除 i 位外的位均为零，故不会影响num的其余位。代码如下：

func setBit(num int, i int) int {
	return num | (1 << i)
}

清零

该方法与setBit相反，首先将1左移 i 位获得形如00010000的值，对这个值取反进而得到类似11101111的值，接着对该值和num执行”位与“，故而不会影响到num的其余位，只会清零 i 位。

func clearBit(num int, i int) int {
	mark := ~(1 << i)
	return num & mark
}

更新

这个方法是将setBit和clearBit合二为一，首先用诸如11101111的值将num的第 i 位清零。接着将待写入值 v 左移 i 位，得到一个 i 位为 v 但其余位都为0的数。最后对之前的结果执行”位或“操作，v为1这num的 i 位更新为1，否则为0：

func updateBit(num int, i int, v int) int {
	mark := ~(1 << i)
	return (num & mark) | (v << i)
}