多智能体共识算法的粗略数学证明

这篇文章是对论文《Consensus and Cooperation in Networked Multi-Agent Systems》中定理一的粗略数学证明。

论文中的定理一：

对一个由 n 个智能体以拓扑结构 G 组成的网络，使用以下共识算法：
$${\dot{x}}_i(t)={\Sigma }_{j\in N_i}{a}_{ij}(x_j(t)-x_i(t)),x(0)=z$$
假设 G 为强连通有向图，令 L 为 G 的拉普拉斯量，且其左特征向量 $\gamma =({\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n)$ 满足 ${\gamma }^{T}L=0$。则有：

1. 对所有的初始态 $z$，算法可以渐进地达成一个共识；
2. 该算法能够解决 $f(z)=({\gamma }^{T}z)/({\gamma }^{T}1)$ 形式的 f-共识问题，其对应的群体决策为 $\alpha ={\Sigma }_i{w}_i{z}_i$，其中 ${\Sigma }_i{w}_i=1$
3. 如果 G 为强连通有向平衡图，该算法可以渐进地达成均值共识，对应的群体决策为 $\alpha =\frac{1}{n}{\Sigma }_i{x}_i(0)$。

• 对 1. 的证明：

  • 该算法的紧凑形式为 $\dot{x}=-Lx$，则其解为 $x(t)=e^{-tL}x(0)$，所以 $x(t)$ 的收敛性可由 $e^{-tL}$ 判定；

  • 设 $L$ 的Jordan标准型为 $J$，即 $L=PJ{P}^{-1}$，则 $f(L)=Pdiag(f(J_1),\cdots ,f(J_s))P^{-1}$，故有 $e^{-tL}=Pdiag(e^{-t{J}_1},\cdots ,e^{-t{J}_s})P^{-1}$，所以 $x(t)$ 的收敛性可由 $e^{-t{J}_i}$ 判定；

  • 由于 $e^{-t{J}_i}=e^{-t{\lambda }_i}\ast T$，其中矩阵 $T$ 的元素为 $t$ 的幂函数，所以 $x(t)$ 的收敛性可由 $e^{-t{\lambda }_i}$ 判定；

  • 根据引理2（ $L$ 的秩为 $n-1$，且所有非零特征值 ${\lambda }_i$ 均有正实部 ），故 $L$ 的特征值中仅存在一个 0，对应的特征向量为 $\alpha 1$ ，$-L(\alpha 1)=0$，又由 $e^{-t{\lambda }_i}=e^{-t(a_i+j{b}_i)}=e^{-t{a}_i}{e}^{-jt{b}_i}\to 0$ 可知 $x(t)$ 收敛，即有 $\dot{x}(\infty )=-Lx(\infty )=0$，所以 $x(\infty )=\alpha 1$。

• 对 2. 的证明：

  可以考虑借助不变量 $y={\gamma }^{T}x$ 并考察其初态与终态。
  $\gamma =1$ 是 L 的左特征向量的充要条件是 G 为平衡有向图。

• 对 3. 的证明：略

参考材料：

• 第1章-多智能体系统
• 《自动控制原理学习笔记》
• 网络化多智能体系统的共识与合作
• 第十八课：Gerschgorin（盖尔）圆盘定理
• 6.4 Gershgorin圆盘定理
• 【矩阵论】范数和矩阵函数（2）
• （数值分析）十四、 矩阵幂级数及矩阵函数
• 9矩阵微分方程