因果推理概念再细化和梳理
0x01. 背景
前期看了一篇因果推理的综述，经阅读后对其进行了简单的整理，也有一些方法和细节不太熟悉，遂再次进行梳理，将理解不通透的概念重新整理。
0x02. 回顾基本概念
- unit： 因果推理中的原子研究对象，可以是实物，也可以是概念，可以是一个或者多个。在一些框架下，不同时刻的同一对象被认为是不同的units。
- treatment： 施加给unit的操作。也叫做干预、介入等。
- variables： unit自带的一些属性，比如患者的年龄，性别，病史，血压等。在treatment过程中不受影响的variable叫做pre-treatment variables，比如患者的性别在多数情况下是不变的；对应的，受到影响的variable叫做post-treatment variables。
- Confounder： 会影响treatment选择和结果的一些变量。比如同一剂量的药剂在不同年龄的人群的结果可能不一样，或者说不同年龄的药剂选择会不同。有一些文献中也叫做协变量，covariate。
- potential outcome： 施加给对象的操作所能产生的所有可能产生的结果。包含observed outcome和反事实结果。
- factual outcome： 施加给对象的操作最终观测到的结果，记做Y。
- propensity score： 倾向分数。 e ( x ) = P r ( W i = 1 ∣ X i = x ) e(x) = Pr(W_i = 1|X_i = x) e(x)=Pr(Wi=1∣Xi=x)，反映出样本 x x x选择 t r e a t m e n t treatment treatment的可能性。
- selection bias： 选择偏差。由于 C o n f o u n d e r Confounder Confounder的存在， t r e a t m e n t treatment treatment组和 c o n t r o l control control组的分布有可能不一致，因此导致出现偏差，这也使得推理更加困难。
- pre-treatment variables : 不受干预影响的变量，也叫做背景变量，比如吃药问题的天气。
- post-treatment variables : 受干预影响的变量，比如吃药问题中的食欲。
ATE（Average Treatment Effect）： A T E = E [ Y ( W = 1 ) ] − E [ T ( W = 0 ) ] ATE = E[Y(W=1)] - E[T(W=0)] ATE=E[Y(W=1)]−E[T(W=0)]，所有人的平均treatment effect。
ATT（Average Treatment Effect on the Treated group）： A T T = E [ Y ( W = 1 ) ∣ W = 1 ] − E [ Y ( W = 0 ) ∣ W = 0 ] ATT=E[Y(W=1)|W=1] -E[Y(W=0)|W=0] ATT=E[Y(W=1)∣W=1]−E[Y(W=0)∣W=0]，受处理群体的平均处理效应。
ATC（Average Treatment Effect on the Controled group）： 与ATT相似，是对照组的平均干预效果。
ITE（Individual Treatment Effect）： I T E i = Y i ( W = 1 ) − Y i ( W = 0 ) ITE_i=Y_i(W=1)−Y_i(W=0) ITEi=Yi(W=1)−Yi(W=0)，某个unit（个体维度）的treatment effect。
CATE（Conditional Average Treatment Effect）： C A T E = E [ Y ( W = 1 ) ∣ X = x ] − E [ Y ( W = 0 ) ∣ X = x ] CATE=E[Y(W=1)∣X=x]−E[Y(W=0)∣X=x] CATE=E[Y(W=1)∣X=x]−E[Y(W=0)∣X=x]，在特征 X = x X = x X=x的子人群里面treatment effect。
0x03. 辛普森悖论
之前只知道辛普森悖论是一种看起来有优势，在总评测中却拉跨的一种现象。重新理解后才知道，辛普森悖论是一个统计学中的名词，大概意思是为了探究两种变量的相关性，人们会对变量之间分组研究，然而出现一个问题是：在分组比较中都占优势的一方，在总评的时候有时反而是失势的一方。
此处引用知乎的一个例子：
| 男100人 | 女100人 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 申请 | 录取 | 录取率 | 申请 | 录取 | 录取率 | |
| 工科 | 80 | 38 | 47.5% | 20 | 14 | 70% |
| 文科 | 20 | 2 | 10% | 80 | 16 | 20% |
| 总计 | 100 | 40 | 40% | 100 | 30 | 30% |
这里统计了两个学院男生和女生的申请人数，录取人数以及录取率，这里隐含的辛普森悖论是：无论是物理学院还是文学院，男生的个别录取率都小于女生，但是计算总计的录取率男生却远大于女生。当时录取结果出来时，人们议论这个学校是不是对女生存在性别歧视，但是当你看不同分组的录取率时，你会发现它歧视男生？到底是歧视谁呢？
为什么会出现这种情况？
辛普森悖论的本质是，或者说前提是，每层之间的成功率差别很大。：录取率数据中，无论是男生还是女生，工科学院的录取率都远高于文学院（这里可能是学校专业分配上的原因，工科学院更好考吧，没有文科那么卷）；
工科学院更容易考，总结来说就是做了更容易做的事。观察数据发现，不同批次的人分配做不同难度事的人也是有差别的，这也是悖论的第二个前提。更多男生申请了工科学院（选择更容易的事去做），导致最终统计成功率时出现反转。
总结一下：如果你多去干成功率高的事，那你整体的成功率就会变大。
再次引用知乎大佬的几何解释：
我们以横坐标表示做某件事尝试的次数，纵坐标表示成功次数，每一个事件都可以用直角坐标系中的一个点来表示，画一个指向这个坐标点的向量，向量的斜率表示的就是成功率。假设一个人做了两件事，一件事的成功率记为 k1，另一件事的成功率记为 k2；那么总体的成功率该怎么计算呢？很简单，总体成功率 = 总的成功次数 / 总的尝试次数，在几何上，根据平行四边形法则，以这两个向量作为邻边做一个平行四边形，而这个平行四边形对角线的斜率就是总体的成功率。
这样子就能解释，为什么一个人两层的成功率都不高（相对的），但是总体的成功率偏高。
A无论做第一件事还是第二件事，成功率都小于B，但是计算总的成功率却大于B。
辛普森悖论的启示：为了避免辛普森悖论的出现，需要斟酌个别分组的权重，以一定的系数去消除以分组分层差异所造成的影响。虽然数据是客观和真实的，但是不同的人却可以用同样的数据讲出不同的故事。