一元三次方程的解
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（一）一元三次方程降阶
一元三次方程原型：
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a x^3 + b x^2 + cx + d = 0 ax3+bx2+cx+d=0
代换削元。最简单的方法是线性变化削元。假设x = my + n, 带入后可以削去未知数y的平方项：
a ( m y + n ) 3 + b ( m y + n ) 2 + c ( m y + n ) + d = a m 3 y 3 + 3 a m 2 y 2 n + 3 a m y n 2 + a n 3 + b m 2 y 2 + 2 b m n y + b n 2 + c m y + c n + d = 0 a (my+n) ^3 + b (my+n) ^ 2 + c(my+n) + d = \\ am^3y^3 + 3am^2y^2 n + 3amyn^2 + an^3 +\\ bm^2y^2 + 2bmny+bn^2 +\\ cmy+cn +\\ d = 0 a(my+n)3+b(my+n)2+c(my+n)+d=am3y3+3am2y2n+3amyn2+an3+bm2y2+2bmny+bn2+cmy+cn+d=0
即此时必须满足二次项系数值之和为0，也就是 3 a m 2 n + b m 2 = 0 3am^2n + bm^2 = 0 3am2n+bm2=0，从而可以得出结论： n = − b 3 a , m 为任意值 n = - \frac {b}{3a},m为任意值 n=−3ab,m为任意值
由此证明：若将 x = y − b 3 a x = y - \frac {b}{3a} x=y−3ab带入原式，则可以讲方程变为如下形式：
x 3 + p x + q = 0 (1.0) x ^ 3 + p x + q = 0 \tag{1.0} x3+px+q=0(1.0)
（二）一元三次方程解的原理
上一片博文是我学习接触一元三次方程的起点，但是原文中有几句话一直不是很明白，为什么x = a + b带入后的限制条件为什么是：
- − 3 a b = p -3ab = p −3ab=p
- q = − ( a 3 + b 3 ) q = - (a^3 + b^3) q=−(a3+b3)
- x = a + b x = a+ b x=a+b
看了另外一篇文章，加上自己的思索终于弄明白了。手动推导一下。
其中要解的方程如下：
x 3 + p x + q = 0 (1.0) x ^ 3 + p x + q = 0 \tag{1.0} x3+px+q=0(1.0)
假设 x = a + b x = a+b x=a+b ,那么
x 3 = ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a b ( a + b ) + b 3 = a 3 + b 3 + 3 a b x x^3 = (a+b)^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab x x3=(a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3=a3+b3+3abx
因此 x 3 − 3 a b x − ( a 3 + b 3 ) = 0 (1.1) x ^ 3 - 3abx - (a^3 + b^3 ) = 0 \tag{1.1} x3−3abx−(a3+b3)=0(1.1)
仔细观察上面的(1.0)和 (1.1)，因为两个式子差别仅仅是一个代换问题，如果代换成立的话（必然可以成立），两者是等价的；也可以认为，未知数的次数和系数形式是一样的，由此得到如下结论：
- − 3 a b = p -3ab = p −3ab=p
- q = − ( a 3 + b 3 ) q = - (a^3 + b^3) q=−(a3+b3)
- x = a + b x = a+ b x=a+b
如此一来，我们假设 x = a + b, 带入要解的方程中可得：
( a + b ) 3 + p ( a + b ) + q = 0 = = > (a + b) ^ 3 + p(a+b) + q = 0 ==> (a+b)3+p(a+b)+q=0==>
a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + p ( a + b ) + a = 0 = = > a^3 + b^3 + 3 a^2b + 3ab^2 + p(a+b) + a = 0 ==> a3+b3+3a2b+3ab2+p(a+b)+a=0==>
a 3 + b 3 + ( a + b ) ( 3 a b + p ) + q = 0 (1.2) a^3 + b^3 + (a+b)(3ab + p) + q = 0 \tag{1.2} a3+b3+(a+b)(3ab+p)+q=0(1.2)
此时，上述三个条件依然是满足的。未知数变为a 和 b，其满足的关系为：
- a 3 b 3 = − p 3 27 a^3b^3 = - \frac{p^3}{27} a3b3=−27p3
- a 3 + b 3 = − q a^3 + b^3 = -q a3+b3=−q
到现在为止，就可以讲三次方程转化为2次方程来求解了。
再次假设: a 3 = m , b 3 = n a^3 = m, b^3 = n a3=m,b3=n，带入后可得： m ( − q − m ) = − p 3 27 m(-q - m) = -\frac{p^3}{27} m(−q−m)=−27p3
即 m 2 + m q − p 3 / 27 = 0 m^2 + mq - p^3/27 = 0 m2+mq−p3/27=0
m = − q + − q 2 + 4 p 3 27 2 = − q / 2 + − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 m = \frac{-q+-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2} = -q/2 +- \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3} m=2−q+−q2+274p3=−q/2+−(2q)2+(3p)3
n = − q / 2 − + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 n = -q/2 -+ \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3} n=−q/2−+(2q)2+(3p)3
将上面两个变量开三次方可得方程的一个根：
a = − q / 2 + − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 a= \sqrt[3]{ -q/2 +- \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} a=3−q/2+−(2q)2+(3p)3
b = − q / 2 − + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 b = \sqrt[3] { -q/2 -+ \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3} } b=3−q/2−+(2q)2+(3p)3
（三）其他的根
在获取了方程的一个根后，利用等式 a 3 + b 3 = − q a^3 + b^3 = -q a3+b3=−q和 a b = − p 3 ab = - \frac {p}{3} ab=−3p可以得到其他的两个根。
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = − q a^3 + b^3 = (a + b)(a ^2 - ab + b^2) = -q a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=−q
a 2 − a b + b 2 = − q a + b a ^2 - ab + b^2= \frac {-q}{a + b} a2−ab+b2=a+b−q
a b = − p 3 ab = - \frac {p}{3} ab=−3p