C语言丨筛法求素数(质数)

素数(质数)是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。素数被广泛用于密码学、汽车变速箱齿轮设计、害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系、导弹和鱼雷等领域上,具有重要意义。本文就来介绍求素数的一种方法:筛法


在初学编程时,我们解决问题的想法应该都是定义法。按照素数的定义——除了1和它本身以外不再有其他因数的大于1的自然数,我们可以这样判断一个整数x是否为素数:

首先,x(x>1)满足不能被1和x以外的其他数整除,即我们可以遍历2~x-1,看是否有整数能整除x,这种方法称为试商法。为此我们可以写出最初版的代码:

int IsPrime(int x)
{
    int i, flag = 1;
    if (x <= 1)//若x<=1,则不是素数
        flag = 0;
    for (i=2; i

但是当x较大时,循环的次数较多,效率低下。实际上,只要在2~x-1中发现了任意一个整数能够整除x,则可立刻判断x不是素数,此时已经可以跳出循环,不再进行重复无意义的工作,即:

int IsPrime(int x)
{
    int i, flag = 1;
    if (x <= 1)//若x<=1,则不是素数
        flag = 0;
    for (i=2; i

实际上,只需用2~sqrt(x)之间的整数去试商看是否能被整除即可(这里不给出数学证明,有兴趣的朋友可以自行查阅资料),为此我们可以把循环条件改为i<=sqrt(x),此时若x不是素数,循环次数将大大减少,可以进一步改进我们的代码。

int IsPrime(int x)
{
    int i, flag = 1;
    int squareRoot = sqrt(x);
    if (x <= 1)//若x<=1,则不是素数
        flag = 0;
    for (i=2; i<=squareRoot && flag; i++)
    {
        if (x%i == 0)//若x能被2~sqrt(x)中的整数整除,则不是素数
        {
            flag = 0;
            break;//只要找到第一个,即可跳出循环
        }
    }
    return flag;//若是素数则返回1,否则返回0
}

若我们要实现求100以内的所有素数,可在主函数中调用IsPrime()函数如下:

int main()
{
    int i;
    for (i=1; i<=100; i++)
    {
        if (IsPrime(i))
            printf("%d\n", i);
    }
    return 0;
}

但是试想,如果我们要实现求素数的范围较大(如100000以内),那么在遍历1~100000的循环中,每一次循环都要调用一次IsPrime()函数,且在函数中还要遍历2~sqrt(i),这样将会使程序的效率变得异常低下。事实上,我们完全可以找出较少的数(范围为2~sqrt(100000))后,把这些数的倍数全部筛掉,这样就省去了很多的判断步骤,这种方法称为筛法。这其实就是试商法中的算法原理:若2~sqrt(x)中有整数能够整除x,那么x一定不是素数,也就是若x不是素数,则一定存在某个数位于2~sqrt(x)中(记为i),x是i的倍数

那么如何实现这个算法呢?我们可以考虑用一个数组a来存储1~N中的所有数,并先把0与1筛去,即初始化数组a,使a[0]=0, a[1]=0, a[2]=2, a[3]=3, ......, a[N]=N;接着对i=2, 3, ......, sqrt(N)分别做:“筛掉a中的所有a[i]的倍数”,即当i+1<=j<=N时,若a[j]是a[i]的倍数,使a[j]=0;最后输出数组中余下的数(a[i]!=0的数)

据此,我们可编写代码如下:

int i, j, a[N+1] = {0};//假设N为常量
for (i=2; i<=N; i++)
{
    a[i] = i;//初始化a[2]~a[N]
}
for (i=2; i<=sqrt(N); i++)
{
    if (a[i]!=0)//跳过已被筛掉的数
    {
        for (j=i+1; j<=N; j++)
        {
            if (a[j]!=0 && a[j]%a[i]==0)//a[j]!=0的目的是跳过已经被筛掉的数
            {
                a[j] = 0;
            }
        }
    }
}
for (i=0; i

而在这种方法中,我们发现,当输出素数时,既可以输出i,也可以输出a[i],那么就说明了有一个值是多余的。其实,我们完全可以使用a[i]当作标记变量,在一开始时把数组a初始化为0,让j遍历2~N,当我们找到非素数则使a[j]变为1,代表筛掉了非素数,最后只需输出元素a[j]=0的下标j即可。据此我们可以优化以上代码:

int i, j, a[N+1] = {0};//假设N为常量
a[0] = 1;
a[1] = 1;//0和1不是素数
for (i=2; i<=sqrt(N); i++)
{
    if (a[i]!=1)//跳过已被筛掉的数
    {
        for (j=i+1; j<=N; j++)
        {
            if (a[j]!=1 && j%i==0)//a[j]!=1的目的是跳过已经被筛掉的数
            {
                a[j] = 1;
            }
        }
    }
}
for (i=0; i

这样我们就可以省去把数组a初始化为a[2]=2,......,a[N]=N的一步了,从而减少了一个循环,提高了程序运行的效率。

在这里,我们判断j是否为i的倍数时,采用的时让j从i+1遍历到N,判断j对i求余是否为0的方法。这样做其实也是不必要的,因为相比于i的倍数来说,不是i的倍数的数要多得多。因此我们可以让j从2开始,直到i*j>N,这样我们就能直接找到i的倍数i*j,并让a[i*j]=1。

int i, j, a[N+1] = {0};//假设N为常量
a[0] = 1;
a[1] = 1;//0和1不是素数
for (i=2; i<=sqrt(N); i++)
{
    if (a[i]!=1)//跳过已被筛掉的数
    {
        j = 2;
        while (i*j<=N)
        {
            a[i*j] = 1;
            j++;
        }
    }
}
for (i=0; i

这就是代码经优化的最终版本啦!


筛法求素数的核心是依次筛掉2~sqrt(N)中素数的倍数,直到a中仅剩下素数为止,这种方法巧用数组,利用数组作为标志变量,是一种效率较高的求素数的算法。


参考文献:

[1]百度百科.

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