区间DP及其变形写法
区间DP及其变形写法
一、模板
前言 ：
市面上的区间DP，大多都是从石子合并（链式）、石子合并（环式）开始讲起，但是笔者认为他们夹杂着前缀和，对初学者很不友好。所以我打算用另一题来引出。
P1435 [IOI2000] 回文字串
题意 ：
给定一个字符串，求出将给定字符串变成回文词所需要插入的最少字符数。
思路 ：
- 朴素点的 ：判断一个区间是不是回文字串，是就不用插入新的字符，反之要插入新的字符。
其实经过线性DP的折磨后，大家也应该明白DP,应该由状态定义 、边界 、状态转移 几个方面组成，下面就理清这三个东西。估计对于区间dp也应该会有一个理性的认识。
/*
状态：
回文词所需要插入的最少字符数，是关于区间长度的函数
dp[i][j] —— 在区间从i到j，回文词所需要插入的最少字符数
边界：
区间长度为1（len == 1） —— 必是回文字串，dp[i][i] = 0;
状态转移：
if (s[l] == s[r]) dp[l][r] = dp[l + 1][r - 1];//s[l]和s[r]相等，不需要插入
else dp[l][r] = min(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]) + 1;//最少字符数，只跟上一个小区间有关，要么是左边的，要么是右边
递推的写法：
从小区间到大区间。
*/
题解 ：
#include二、区间合并型（割点k——大区间分成两部分）
前言 :
本来是现在把石子合并放到这讲的，但是发现了另一个好题。能诠释==（割点k——大区间分成两部分）== ，也不用再讲前缀和增加理解负担。
P4170 [CQOI2007]涂色
题意 ：
把一段连续的木板涂成一个给定的颜色，求解最少的涂色次数
思路 ：
- 朴素点的 ：既然已经学过区间dp了，直接想能不能定义其状态。
/*
状态：
最少的涂色次数。关于区间的函数
dp[l][r]
边界：
区间长度 len == 1、l == r 时。只需涂一次色， dp[i][i] = 1
求最少的涂色次数 其他初始化为MaxN
状态转移：
状态转移：
s[i] == s[j]
dp[l][r] = min(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]);//过大上次涂的边界即可，不需要再涂
else
dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r]);// 我们需要考虑将子串断成两部分来涂色，需要枚举子串的断点
*/
题解 ：
#include三、区间合并型（加入前缀和的应用）
前言：
终于到激动人心的时候了！石子合并！这里提一嘴，石子合并有链式和环式，现在先将链式。
P1775 石子合并（弱化版）
题意 ：
合并的代价为这两堆石子的质量之和，求总的代价最小
思路 ：
- 朴素点的 ：如果是两个石头合并很容易，就两个相加就好了。但是他是一个区间，那怎么求？对嘛！铺垫这么久的前缀和就登场了！
- 前缀和求重量，如果求[i, j]的重量，preS[j] - preS[i - 1];
/*
状态：
总的代价最小，关于区间的函数
dp[i][j]
边界：
dp[i][i] = 0//不合并，没有代价
求总的代价最小 其他初始化为MaxN
状态转移：
两堆原先的重量，再加合并的重量
dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
*/
题解 ：
#include四、环型DP的处理方式
前言 ：
环形dp，其实不难，就多复制了一维，其他都一样的
P1880 [NOI1995] 石子合并
题意 ：
合并的代价为这两堆石子的质量之和，求总的代价最小
首尾可以相连成环
思路：
- 朴素点的 ：如果是两个石头合并很容易，就两个相加就好了。但是他是一个区间，那怎么求？对嘛！铺垫这么久的前缀和就登场了！
- 前缀和求重量，如果求[i, j]的重量，preS[j] - preS[i - 1];
- 多复制一维，从n -> 2n，解决成环问题
题解 ：
#include五、环型DP的处理方式 —— 去除前缀和，普通的环
前言 ：
前缀和，区间长度为n,但是如果不是前缀和，区间长度就要变成n + 1
P1063 [NOIP2006 提高组] 能量项链
题意 ：
和石子合并差不多，只不过那个是相加，这个是相乘
思路 ：
和石子合并一个思路不多赘述，唯一一个点就是不用前缀和，首尾相连的话，区间范围为n + 1,包含首尾相连
题解 ：
#include六、结语
完结散花，如有不明白欢迎私信交流。都看到这了，给个三连呗！