线性代数的学习和整理5： 矩阵的加减乘除及其几何意义(未完成，建设ing)

目录

1 矩阵加法

1.1 矩阵加法的定义

1.2 加法的属性

1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加

1.2.1 矩阵加法的可交换律：

1.2.2 矩阵加法的可结合律：

1.3矩阵加法的几何意义

2  矩阵的减法

2.1 矩阵减法定义和原理基本同 矩阵的加法

2.2 矩阵减法的几何意义

3 矩阵标量乘法/ 也称 数乘

3.1 数乘的定义

3.2 矩阵的标量乘法的性质，标量乘法/数乘 可交换

3.3 几何意义：就是 正向/方向的伸缩

4 左乘 & 右乘 （很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）

4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？

4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘 

4.3 一般的线性代数公式  AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

5 矩阵乘法（也称矩阵的点积/内积）

5.1 详细的矩阵乘法规则

5.1.1 计算规则是：

5.1.2  矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A

5.2  矩阵内乘/点积的几何意义

6 矩阵的外积？（还不会）

7 矩阵求逆(逆矩阵)

7.1 求逆矩阵的方法

7.2 求逆矩阵的规则

7.2.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵

7.3 逆矩阵的几何意义

8  带引号的“矩阵除法”

8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解

8.2 矩阵除法的几何意义

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1 矩阵加法

1.1 矩阵加法的定义

• 矩阵加法一般是指两个矩阵把其相对应元素加在一起的运算。 

1.2 加法的属性

可结合律和可交换律

1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加

• （1,2）+(1,2,3) 无法计算
• 如何合法可加，生成的结果也是一个向量

1.2.1 矩阵加法的可交换律：

• A+B=B+A
• 看坐标系，表示从上面走先走b，再走a到达C，和从下面先走a,再走b到达C是一样的。

1.2.2 矩阵加法的可结合律：

• (A+B)+C=A+(B+C)
• 看坐标系，表示3个矩阵相加，先计算A+B,再计算A+B+C 和先计算B+C 结果是一样的。

1.3矩阵加法的几何意义

• 看下图，实际是向量的相加，是有方向性的，不是简单的相加
• 而无论2个，还是3个向量相加，都可以用三角形发展继续相加，生成的新向量就是矩阵相加的和----一个新向量

 

 

2  矩阵的减法

2.1 矩阵减法定义和原理基本同 矩阵的加法

• 虽然一般不说矩阵减法，但原理上OK，EXCEL里计算也OK

2.2 矩阵减法的几何意义

• 矩阵的减法和加法其实是类似的，但是几何意义不同
• 加法是2个向量，首尾相接，形成新的向量--和向量
• 减法是1个减数向量，开始指向另1个被减数的向量，形成的新向量：差向量。如可以可以挪到原点，从原点出发，
• 可以看出如下图，和从原点出发，而数字为减法后得数的终点作为坐标的向量，是相同的。

 

3 矩阵标量乘法/ 也称 数乘

3.1 数乘的定义

• λ*(A+B) =λ*A+λ*B
• 就是  标量*矩阵对应位置元素，类整数的乘法

3.2 矩阵的标量乘法的性质，标量乘法/数乘 可交换

•  a*X={ax1,ax2,ax3.....axn]
• 交换性  a*X=X*a

3.3 几何意义：就是 正向/方向的伸缩

• 如果乘以负数，就是反向伸缩
• 如果乘以a>1，就是伸长，
• 如果a=0.5 就是缩短

4 左乘 & 右乘 （很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）

4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？

• 比如 Ax=y
• 主体：变量?   那变量 x 左乘矩阵A
• 主题，矩阵？ 那矩阵A 右乘变量x

4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘 

• A*B ≠ B*A
• A*B 是A右乘B， 是A的右边乘以B
• B*A  是A左乘B，是A的左边乘以B

4.3 一般的线性代数公式  AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

• 一般的线性代数公式  AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

5 矩阵乘法（也称矩阵的点积/内积）

• 在EXCEL里，使用函数 mmult()+ 选择好生成矩阵的长宽区域+数组公式
• 注意要提前计算好 目标矩阵的大小，比如 n*m矩阵* m*k的矩阵，结果是 m*k的矩阵

5.1 详细的矩阵乘法规则

5.1.1 计算规则是：

• 并不是任意2个矩阵都可以相乘
• 只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘，也就是前者的列数=后者的行数
• aij= 矩阵1的第i行* 矩阵2的第j列的结果

本质规则

• 是两个矩阵元素的投射形成的新矩阵

5.1.2  矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A

• 矩阵乘法要详细考虑次序，不能交换
• A*B ≠ B*A
• 矩阵乘法的具体公式：需要考虑展开，后面详细再说

5.2  矩阵内乘/点积的几何意义

6 矩阵的外积？（还不会）

7 矩阵求逆(逆矩阵)

7.1 求逆矩阵的方法

• 主要是利用 A*A-=I 标准矩阵

7.2 求逆矩阵的规则

7.2.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵

• 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵
• 特殊条件是：满秩的双射矩阵才可以求逆

7.3 逆矩阵的几何意义

8  带引号的“矩阵除法”

8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解

• ​这个除法实际只是一个类比，并不是真正的 矩阵除法！

这个题目的意思是：

如果知道 ，A矩阵*B矩阵=C矩阵

但是A矩阵已知，C矩阵也已知，如何求B矩阵？

A矩阵*B？矩阵=C矩阵

A*B？=C  那么B？=？    其实B=A-*C  而不是C*A-

• 一定注意矩阵的次序，很重要！！
• 正确的，B=A~*C，而且B !=C*A-
• 错误的，B =C*A-
• 因为如下推导

1. A*B= A*A-*C   =I*C=C
2. A*B= A*C*A-  !=C
    

8.2 矩阵除法的几何意义