高等数学：微积分（下）

微分

导数说完了就可以说微分了。还是看图中过A点的切线，其与竖直虚线相交于C点。其中CD段的距离可以表示为
$$CD=k\cdot \Delta x$$
这里的系数k是一个不为零的常数。原因很简单，假设这条切线与x轴的夹角为$\theta$ （图中没有画出），那么根据三角函数的关系便有
$$\tan \theta =\frac{CD}{\Delta x}$$
即常数k的值等于$\tan \theta$。

由于$\Delta x$本身就是无穷小了，即$\Delta y$也是无穷小，那么CD与$\Delta y$的差会更小，咱们将这个差值称为$\Delta x$的高阶无穷小，给个记号就是$o(\Delta x)$（就是一个记号而已，懒得写太多文字）。你可以把高阶无穷小想象成是无穷小的儿子，既然老子都是小不点，儿子就更不用谈了。

也就是说A、B两处函数值的差$\Delta y$可以看成两部分相加：一段是CD，另一段是$\Delta x$的高阶无穷小$o(\Delta x)$，写成等式则为
$$\Delta y=k\cdot \Delta x+o(\Delta x)$$
显然CD段\Delta y的主体部分，于是咱们便把CD称为函数$y=f(x)$在x处的微分，记为df，即
$$df=k\cdot \Delta x$$
你想知道常数k是多少吗？很简单，A、B两处函数值的差为
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$
将其带入到上面所写的$\Delta y$的表达式里，则有
$$f(x+\Delta x)-f(x)=k\cdot \Delta x+o(\Delta x)$$
只需把等式两边同时除以$\Delta x$，你会发现有结果
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=k+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$
但是常数k依旧没有求出来。不着急，再令$\Delta x\to 0$，将等式两边求极限，则有
$$k=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
因为
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0$$
这回你应该发现常数k等于谁了吧？
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
不就是刚刚定义的函数$f(x)$的导数f’么？于是咱们发现函数$y=f(x)$在x处的微分居然就是
$$df=f^{\prime }\cdot \Delta x$$
想不到导数和微分竟然还有如此关系…

由于自变量x对自身的导数等于1，也就是$x^{\prime }=1$，所以
$$dx=x^{\prime }\cdot \Delta x=\Delta x$$
这么一来，函数f在x处的微分就可以表示为
$$df=f^{\prime }\cdot dx$$
或者记为
$$f^{\prime }=\frac{df}{dx}$$
这和刚才导数的符号不同，这里是指函数f的微分与自变量x的微分的比值，也称为微商。

说到导数与微商的区别，这里还有点故事可以说道说道呢。微分和微商都是莱布尼兹提出来，微分顾名思义就是指微小的增量，也即无穷小量；而微商显然就是两个微分的比值。在这样一种认知下，导数依旧是切线的斜率，但是切线怎么来？

还是参考下图，当A、B两点挨得无穷近时，割线AB就变成了过A点的切线。此时A、B两点对应的自变量差值为无穷小，即微分dx；而A、B两点对于的函数值的差也为无穷小，即微分dy。所以过A点的切线斜率便是微商$\frac{dy}{dx}$，也就是导数。

也就是说在莱布尼兹时代，是先定义了微分才有了导数，但是它俩都是站在如幽灵般的无穷小的肩上。显然这很不数学，得改！

待到极限被清楚认识之后，咱们才有了用极限的方法去定义导数！而微分的概念也不再是莱布尼兹所说的微小增量，它是一个函数！是变化量的函数！

你看嘛，自变量x的变化量为$\Delta x$，而自变量x的微分为$dx=\Delta x$所以dx是变化量$\Delta x$的函数。

而函数$f(x)$的微分为
$$df=f^{\prime }\cdot \Delta x$$
显然df也是变化量$\Delta x$的函数。

不仅如此，微分还是一个线性函数！因为无论是dx还是df，它们与$\Delta x$的关系都是简单的正比例函数关系，这被称为线性关系。

你发现没，在有了极限这个正规工具后，咱们是先定义了导数再定义了微分！并且由于微分是变化量的线性函数，才有了函数的导数f’等于函数的微分df与自变量的微分dx所算的微商$\frac{df}{dx}$。

看到这里，你是不是觉得微分理解起来也不难呀？学习一个新东西本就应该理顺它的来龙去脉、辨清它与其他东西的区别与联系，搞定了这些再拿去应用就会得心应手。你继续往后看就会发现这种学习方式被悦理君体现得淋漓尽致。

搞清了导数和微分的关系，前面介绍的求导基本法则便可摇身一变成为求微分的基本法则，即有：
$$\begin{gathered} d(f\pm g)=df\pm dg \\ 和d(f\cdot g)=f\cdot dg+g\cdot df \end{gathered}$$
至于复合函数的微分还隐含着一个有趣的现象呢！咱们把复合函数记为$y=f(g(t))$，它由函数$y=f(x)$与函数$x=g(t)$复合而来。按照复合函数的求导法则，复合函数的微分为
$$dy=f^{\prime }(x)g^{\prime }(t)dt$$
而函数$x=g(t)$的微分即为
$$dx=g^{\prime }(t)dt$$
将其带入到复合函数的微分里便有结果
$$dy=f^{\prime }(x)dx$$
你会发现对于函数$y=f(x)$来说，不管x是独立变量还是中间变量，微分形式都有
$$dy=f^{\prime }(x)dx$$
这个有趣的特点被称为一阶（只求一次微分）微分形式的不变性。

向多元函数进军
前面带你叩开导数和微分的大门时，我用的都是只含一个自变量的一元函数。不过更一般的情形里，函数所含有的自变量往往不止一个，这样的函数被称为多元函数。它们的微分会不会有啥不同呢？老规矩，依旧先从导数说起。

咱们就拿最简单的多元函数——二元函数来说，即函数含有x和y共两个自变量，记为
$$u=f(x,y)$$
二元函数的导数定义完全类似一元函数，不过区别就在于函数f的变化可以由两个自变量中的任意一个变化所引起。

如果咱们固定变量y的取值，只让变量x发生变动，由此导致函数f发生的变化称为函数（关于x）的偏增量，记作
$$\Delta u_x=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$$
偏心嘛，只管x不管y，照抄前面的导数定义，咱们就把
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u_x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$
称为函数f关于x的偏导数，记为
$$\frac{\partial }{\partial x}f$$
我想你应该清楚地知道符号$\frac{\partial }{\partial x}$是整体作用在f身上，并不是$\partial f$与$\partial x$的比值。所以在你头脑清醒的时候，咱们很乐意把偏导数写成
$$\frac{\partial f}{\partial x}$$
的样式。

同理，如果咱们固定变量x的取值，只让变量y发生变动，由此导致函数f发生的变化称为函数（关于y）的偏增量，记作
$$\Delta u_y=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
然后就把
$$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta u_y}{\Delta y}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$
称为函数f关于y的偏导数，记为
$$\frac{\partial f}{\partial y}$$
与微分类似，既然提及了偏导数就会有所谓的偏微分，咱们把函数$u=f(x,y)$对自变量x的偏微分记为$d_{x}f$，则偏微分与偏导数的关系即为
$$d_{x}f=\frac{\partial f}{\partial x}dx$$
想必你应该可以立刻写出函数$u=f(x,y)$对另一自变量的偏微分与对应偏导数的关系了，即为
$$d_{y}f=\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
再次申明一下，这篇文章是为后续的物理内容服务的，所以得出有些数学结论时明显具有物理思维的痕迹，比如上面就是用到了类比的方法。至于结果的严谨性就让数学去擦屁股呗，反正它就是干这活的。

继续说多元函数的微分。你可能会觉得多元函数是不是只有偏微分呢？类比一元函数的微分，偏微分总觉得好像没那么神似。没错，多元函数除了有偏微分还有全微分一说，它与多元函数的全增量颇有联系。啥？怎么又弄出个全增量？

前面不是已经说过了嘛，多元函数的任何一个变量单独变化时都会导致函数值发生变化，假若现在让每个自变量都有变化，则导致函数值所产生的变化就称为函数的全增量。

即函数$u=f(x,y)$的自变量x与y分别变化成$x+\Delta x与y+\Delta y$，把函数的全增量记为$\Delta u$，则有
$$\Delta u=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
咋样，全增量好理解吧？

在全增量的前提下，类比一元函数的增量与微分的关系，咱们自然会想到多元函数的全增量是否也能写成与$\Delta x$和$\Delta y$有关的线性主体外加$\Delta x$和$\Delta y$的高阶无穷小呢？

答案是肯定的，即全增量可以写成
$$\Delta u=A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y+o\left(\Delta x\right)+o\left(\Delta y\right)$$
写法完全与一元函数的增量一样，只是多了一个变量多添一副碗筷而已嘛！不过为了使得增量写得更紧凑，咱们会将其写成
$$\Delta u=A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})$$
至于具体原因以及全增量能写成这种形式的条件，请你移步微积分教材自行寻找答案。

于是咱们就把全增量的线性主体部分
$$A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y$$
称为函数$u=f(x,y)$的全微分，记作df。同样类似于一元函数的微分与导数的关系，多元函数的全微分与偏导数的关系即为
$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot dx+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot dy$$
这便是你想要的与一元函数的微分完全对得上的结论。

积分

说完了微分说就该来说一说积分。积分起源于对封闭图形的面积计算，你肯定能很快写出矩形、三角形或者梯形的面积计算公式，但是面对一般的封闭图形时就无能为力了。

不过没关系，前面介绍的积分思想就是来干这活的——咱可以用那些规则图形的面积来逼近这个不规则图形的面积。

这就好比铺地砖一样，总能用规则的地砖近似地铺满一块区域，至于边边角角可以用更小的规则地砖将其覆盖，直到最后看不出什么缝隙。

这种朴素的思想该如何用数学语言来描述呢？

假设有一条函数曲线$y=f(x)$，在变量x取值于[a,b]的范围内与坐标轴围成了一个曲边梯形。当我们要计算这个图形的面积时，先把区间[a,b]分割成n个小区间，让每个小区间对应一个小矩形条，然后把这n个小矩形条（相当于规则的地砖）的面积和去替代曲边梯形的面积。

至于所有矩形条的面积和能不能代替曲边梯形的面积、以及代替的误差有多大，这有严谨的数学论证，咱就省略几千字了哈，数学教材可是等着你们去宠幸呢。

此处我们只关注能精确替代的情形，即把区间[a,b]分割成无穷多份，使得无穷多个小矩形条的面积和存在一个确定不变的极限值，该极限值就是这个曲边梯形的面积，记作
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
这个表达式称为被积函数$f(x)$在区间[a,b]的定积分，a和b分别称为定积分的下限和上限，x是积分变量。

显然定积分
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
是一个数，只要函数$f(x)$的表达式和区间[a,b]定了，这个数就定了。换句话说，你把积分变量写成x还是t亦或是u都没关系。

这是肯定的撒，比如说函数是二次函数，无论写成$f(x)=x^2$还是写成$f(t)=t^2$，这不都是相同的抛物线么？它与坐标轴所围成的图形还能有差别？

如果现在咱要计算这条抛物线在[0,2]的范围内与坐标轴所围成的图形面积，结果肯定是一样的嘛。所以有
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(u)du$$
为啥要啰嗦上面这么一段文字呢？还不是担心你对接下来的表述弄混淆了嘛。既然定积分
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
是一个确定的数，但如果让积分上限（用下限也行）在区间[a,b]内任意取值，咱就可以一一对应地写出任意个定积分（请记住，它是一个数）。

看到这里，你是不是就想起了函数？变动的积分上限有与之一一对应的数！把这个函数起名为积分上限函数，记作\Phi (x)。按照刚才描述的函数构造方法，则有
$$\begin{gathered} \Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt \\ 其中a\le x\le b。 \end{gathered}$$
你看，我可是特意把积分变量换成了t，就是为了让你看清楚积分上限函数的变量是积分上限而不是积分变量本身！拗口不？那就慢慢地多读几遍哈！

微积分基本定理
从如今“微积分”这个名称上就能看出微分与积分可是一对形影不离的好基友，想要发现它俩的基情，上面几段文字已经做好了铺垫。

我给你甩出积分上限函数可不是为了让你练习拗口令，而是这个函数有个及其重要的性质——积分上限函数的导数等于被积函数，即
$${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$$
等式成立的条件以及证明过程就请各位辛苦翻阅一下数学教材，很简单、很容易看懂！

这个性质一下子就把求导和定积分给紧密团结起来。求导或者求微分是对函数的一种运算，那么这种运算就有与之对应的逆运算，就好比加法有逆运算是减法，乘法有逆运算是除法。你猜求导的逆运算是什么呢？

如果一个函数F(x)满足F’(x) = f(x)\ 咱们就称函数F(x)是函数f(x)的原函数，这意味着求原函数就是求导运算的逆运算！刚好上面提到的积分上限函数\Phi (x)就是被积函数f(x)的原函数，这下该知道\Phi (x)的重要地位了吧？

对了，你还记得常数C的导数为零的结论吗？要是咱给积分上限函数\Phi (x)加上一个任意常数C，你会发现啥？新的函数\Phi (x) + C的导数也等于f(x)，即[\Phi (x) + C]’ = f(x)\

所以新函数\Phi (x) + C也是f(x)的原函数，这说明f(x)的原函数可以有无限多个。

严格的数学证明会告诉你，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么其他无限多个原函数只能是F(x) + C的形式。

也就是对于同一个被积函数f(x)来说，不同原函数之间只相差一个任意常数。

鉴于求原函数是求导的逆运算，而且原函数就长成F(x) + C的样子，这么重要的式子不得给它上个户口么？于是咱们将其命名为不定积分，记作\int {f(x)dx = F(x) + C} \ 也就是说不定积分是一种运算，是微分运算的逆运算。请不要把它和定积分搞混了哈，人家定积分是一个数。

至于你问定积分该怎么算，积分上限函数笑而不语地向你招了招手。假设F(x)是被积函数f(x)的原函数，显然积分上限函数\Phi (x)也是F(x)的同伙。刚才已经说过了，不同原函数之间只相差一个任意常数，所以有\int_a^x {f(x)dx} = F(x) + C\ 发现没，只要令积分上限里的x等于b，咱们要的定积分不就现原形了吗？

不过还有一个小问题就是任意常数C的取值。定积分\int_a^b {f(x)dx} \ 是一个确定的数，岂容你C任意取值？若真如此，岂不是变成了薛定谔的定（小）积（猫）分（咪）？所以咱得把C的值给求出来。

很简单，你先令积分上限里的x等于a，这不有\int_a^a {f(x)dx} = 0\ 么？于是就有C = - F(a)\

再令积分上限里的x等于b，于是
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
即定积分
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
的值等于被积函数f(x)的原函数在积分上、下限处取值的差。

为了方便，咱们会给出一个新的记法：
$${\int }_a^{b}f(x)dx={F(x)|}_a^b$$
完美收工！这便是大名鼎鼎的牛顿——莱布尼茨公式！是它把定积分的计算与求原函数进行了联姻，于是微分与积分的基情就开始了。

结语

这篇文章是读懂后续物理内容的数学基础，我着重于把微积分的思想与概念给说清楚。因为在我看来，无论是数学还是物理，都不应该是从天而降地甩给你一个定义、概念或者公式，然后你就开始套用公式去各种计算，顺便还对各种奇技淫巧顶礼膜拜。这并不是掌握数学或者物理的好办法。

诚然，它们的价值确实需要通过具体应用才得以体现，你对定义、概念或者公式的掌握程度的确需要在应用中去加深，但是倘若你没有领悟其中的深刻思想与严密逻辑、倘若你不了解它们为什么会被人们提炼出来，你能保证很好地应用公式得到正确的结果吗？你能确保可以灵活驾驭那些令人叹为观止的技巧吗？你还会在大量枯燥的计算过后还对数学或者物理感兴趣吗？要知道人一旦对什么事物感兴趣了，其爆发的潜力不可估量啊！

我并不是绝对地排斥具体的计算，我只是强调武功需要内外兼修！想必你在课堂内外已经把计算技能和各种技巧打磨得炉火纯青了，所以我更偏向于把背后的逻辑线给你清晰完整地展现出来，这是我所有文章的写作风格。倘若这种写法对你的内功修为有所帮助，我辛苦码字也就值得啦！