15.树与二叉树基础
目录
一. 树，基本术语
二. 二叉树
（1）二叉树
（2）满二叉树
（3）完全二叉树
三. 二叉树的性质
四. 二叉树的存储结构
（1）顺序存储结构
（2）链式存储结构
树形结构：结点之间有分支，具有层次关系。
一. 树，基本术语
树的定义：树(Tree)是n (n≥0)个结点的有限集。
（1）若n = 0，称为空树；
（2）若n >0，则它满足如下两个条件：
- 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
- 其余结点可分为m(m≥0)个互不相交的有限集T1,T2,T3,....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树(SubTree)。
树的一些基本术语在下图中展示：
有序树：树中结点的各子树从左至右有次序(最左边的为第一个孩子)。
无序树：树中结点的各子树无次序。
森林：是m(m≥O)棵互不相交的树的集合。
森林与树的关系：把树的根结点删除树就变成了森林。一棵树可以看成是一个特殊的森林。给森林中的各子树加上一个双亲结点，森林就变成了树。
二. 二叉树
（1）二叉树
为何要重点研究每结点最多只有两个“叉”的树？
- 二叉树的结构最简单，规律性最强;
- 可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。
普通树(多叉树)若不转化为二叉树，则运算很难实现。二叉树在树结构的应用中起着非常重要的作用，因为对二叉的许多操作算法简单，而任何树都可以与二叉树相互转换，这样就解决了。
二叉树：二叉树是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n = 0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的，分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
- 每个结点最多有俩孩子(二叉树中不存在度大于2的结点)。
- 子树有左右之分，其次序不能颠倒。
- 二叉树可以是空集合，根订以有空的左子树或空的右子树。
注意：二叉树不是树的特殊情况，也不是有序树，而是两个不同的概念。
- 二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树也行区分，说明它是左子树，还是右子树。
- 树当结点只有一个孩子时，就无须区分它是左还是右的次序。因此二者是不同的。这是二叉树与树的最主要的差别。
也就是二叉树每个结点位置或者说次序都是固定的，可以是空，但是不可以说它没有位置，而树的结点位置是相对于别的结点来说的，没有别的结点时，它就无所谓左右了。
二叉树的五种基本形态如下：
下面我们介绍满二叉树和完全二叉树，这两种特殊的二叉树在顺序存储结构下可以复原。
（2）满二叉树
一棵深度为k且有
个结点的二叉树称为满二叉树。
特点：1.每一层上的结点数都是最大结数(即每层都满)；2.叶子节点全部在最底层； 3.满二叉树在同样深度的二叉树中，结点数，叶子结点数都是最多的。
对满二叉树结点位置进行编号：从根结点开始，自上而下，自左而右。每一结点位置都有元素。
（3）完全二叉树
深度为k的具有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
也可以从满二叉树看完全二叉树：在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即是一棵完全二叉树。一定是连续的去掉!
特点：1.叶子结点只可能分布在层次最大的两层上；2.对任一结点，如果其右子树的最大层次为i,则其左子树的最大层次必为i或i+1。
三. 二叉树的性质
性质1：二叉树的第i层上最多有
个结点（i>=1），最少有1个结点；
性质2：深度为k的二叉树至多有个结点，最少有k个结点；
性质3：对任何一个二叉树T，如果叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有：
；
证明：设总边数为B，结点数为n，显然有：
，这是由于除了根结点以外，每个结点有且只有一个前驱。
同时，因为结点的度只能为0，1，2，记他们的个数分别是
，所以有：
和
；
联立以上三式就可得到：，证毕。
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度是
，其中
表示不超过x的最大整数。
证明：深度为k的完全二叉树，结点个数的范围是：
性质5：对一个具有n个结点的完全二叉树，对一个编号为i的结点：
（1）i>1时，此结点的双亲结点是
；
（2）此结点的左孩子结点编号是
，右孩子结点编号是
（如果左右孩子存在）；
四. 二叉树的存储结构
（1）顺序存储结构
实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素。
//二叉树的顺序存储
# define MAXSIZE 100
typedef TElemType SqBiTree[MAXSIZE];
SqBiTree bt;定义二叉树的顺序存储结构如上所示，使用了一个数组 SqBiTree 来表示二叉树。SqBiTree 是一个 typedef 定义的类型别名，它是一个大小为 MAXSIZE 的数组，数组元素的类型是 TElemType。TElemType 可以根据具体的需求来定义，表示二叉树节点的数据类型。在这段代码中没有给出 TElemType 的具体定义，需要根据实际情况来确定。通过这段代码，我们可以使用数组 bt 来表示一个二叉树，数组的大小为 MAXSIZE，数组中的元素存储了二叉树的节点数据。这种顺序存储结构的好处是可以快速访问二叉树的任意节点，但是需要提前确定二叉树的最大节点数。
例：根据数组还原二叉树
特点：结点间关系蕴含在数组位置中，浪费空间，适用于满二叉树和完全二叉树。
（2）链式存储结构
二叉树结点的特点：每个结点有左孩子，或者右孩子，所以二叉树的链式结点包含数据域和两个指针域：
typedef struct BiNode{
TElemType data;
struct BiNode *lchild,*rchild; //左右孩子指针
}BiNode,*BiTree;
有时为了寻找祖先结点，还会增设一个指针*parent，这样结点就有四部分：
| lchild | data | parent | rchild |
