重积分 基本知识点

1.二重积分

概念：曲顶柱体的体积

• ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =li{m}_{n\to \infty }{\Sigma }_{i=1}^n{\Sigma }_{j=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j)\frac{b-a}{n}\frac{d-c}{n}$这里的D是一个矩形区域。
• a=0,b=1,c=0,d=1的特殊情况
• 例题：求极限p251 例14.1

二重积分的性质

• ${\iint }_{D}1d\sigma =D的面积$
• D相同的前提下，被积函数越大，积分越大（用几何意义来理解）
• 可拆性
• 普通对称性：当D 关于y轴对称，立即检查被积函数关于x的对称性，当D 关于x轴对称，立即检查被积函数关于y的对称性。
• 轮换对称性：x,y 对调后，D不变。

二重积分的计算

• 投影划线法

  • 直角坐标系下$\{\begin{array}{l}X型\\ Y型\end{array}$
    画出投影区域
    找到x的范围
    作垂直于x轴的直线
    找到y的上下限$y=g_1(x),y=g_2(x)$

  

  • 极坐标下
    画出投影区域
    找到$\alpha ,\rho$的范围
    写出二重积分表达式

  • 例题感受一下：

  • 写出${\iint }_D(x+1)d\sigma 的先x后y(向y轴投影)形式,其中D是x+y=1,x=0,y=0围成的区域。$

  • 写出${\iint }_D(x+1)d\sigma 的先y后x(向x轴投影)形式,其中D是x+y=1,x=0,y=0围成的区域。$

  • 交换积分次序：先画出图

  • 投影方式的选择：

  • 写出${\iint }_D(x+1)d\sigma 的累次积分形式,其中D是x+y=1,y-x=1,y=0围成的区域。$

  • 计算$I={\int }_0^{1}dy{\int }_y^1\frac{y}{1+x^2+y^2}dx$

  • 极坐标下

• 计算二重积分

  • ${\int }_0^1{\int }_1^{2}ydydx=$
  • ${\int }_0^1{\int }_1^{2}xdydx=$
  • ${\int }_0^1{\int }_1^{x}ydydx=$
  • ${\int }_0^1{\int }_1^{x}xdydx=$
  • ${\int }_0^1{\int }_1^{2}ydxdy=$

• 因为dx拿到后面写，看起来很不方便（如果内层积分很长？）所以习惯提前写。

练习题

• $D_{xy}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-t$,求${\iint }_{Dxy}dxdy$

2.三重积分

概念：

• ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz,\Omega$是一个封闭区域
• 先算二重再算一重，还是先算一重再算二重呢？

计算

先一后二（投影法）

• 区域$\Omega 的投影是D_{xy}$
• $\Omega 的上下边界分别是：z_1(x,y)和z_2(x,y),即z的范围z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}$
• 写成先z后xy 的形式，这是一个二重积分，积分区域是$D_{xy}$
• 接下来就是求二重积分$\{\begin{array}{l}X型\\ Y型\end{array}$
• 即${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iint }_{D_{xy}}[{\int }_{z1}^{z2}f(x,y,z)dz]dxdy$
  

先二后一(截面法)

• 先找到z的范围：$c1\le z\le c2$

• 横截积分区域，截面是$D_z$,先在$D_z$上做二重积分，做好之后的结果只含有z

• 再对z 积分

• 即${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_{z_1}^{z_2}[{\iint }_{D}z(x,y,z)dxdy]dz$
  

3.参考资料：https://www.icourse163.org/learn/SZU-1002833013?tid=1450253457#/learn/content?type=detail&id=1214447157&cid=1218133535