HDU 3441 Rotation（polay计数+欧拉函数+素数约数）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3441

题意：将一个A*A的方块分成若干个B*B的方块，满足A*A=k*B*B+1。有m种颜色为每个格子涂色。最后将K个B*B的方格连在剩下的一个格上。旋转后相同的视为相同。有多少种不用的造型？

 

思路：（1）求出所有的B。分解A+1和A-1。然后DFS搜索出B；

（2）先用m种颜色给B*B的格子染色，四种置换。得到不同的染色方案cnt；

（3）最后问题等介于用cnt种颜色给K个珠子的项链染色，不同的染色方案。

 

int prime[N],cnt,tag[N];


void init()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<N;i++) if(!tag[i])
    {
        prime[cnt++]=i;
        for(j=i+i;j<N;j+=i) tag[j]=1;
    }
}


#define PII pair<i64,i64>

i64 n,m;
vector<PII> factor;

vector<PII> split(i64 n)
{
    vector<PII> V;
    int i;
    for(i=0;i<cnt&&(i64)prime[i]*prime[i]<=n;i++) if(n%prime[i]==0)
    {
        i64 cnt=0;
        while(n%prime[i]==0) cnt++,n/=prime[i];
        V.pb(MP(prime[i],cnt));
    }
    if(n>1) V.pb(MP(n,1));
    return V;
}

vector<PII> unionFactor(vector<PII> a,vector<PII> b)
{
    int i,j;
    FOR0(i,SZ(b))
    {
        i64 x=b[i].first;
        i64 y=b[i].second;
        FOR0(j,SZ(a)) if(x==a[j].first)
        {
            a[j].second+=y;
            break;
        }
        if(j>=SZ(a)) a.pb(MP(x,y));
    }
    return a;
}

i64 ans;
i64 tempAns;



i64 phi(i64 n)
{
    i64 ret=1,i;
    for(i=0;i<SZ(factor)&&sqr(factor[i].first)<=n;i++)
    {
        i64 x=factor[i].first;
        if(n%x==0)
        {
            n/=x;ret*=x-1;
            while(n%x==0) n/=x,ret*=x;
        }
    }
    if(n>1) ret*=n-1;
    return (ret%mod);
}

void dfs(int dep,i64 curI,i64 cnt,i64 K)
{
    if(dep==SZ(factor))
    {
        tempAns+=myPow(cnt,curI,mod)*phi(K/curI)%mod;
        tempAns%=mod;
        return;
    }
    dfs(dep+1,curI,cnt,K);
    i64 x=factor[dep].first;
    i64 y=factor[dep].second;
    i64 i;
    FOR0(i,y)
    {
        curI*=x;
        if(K%curI) return;
        dfs(dep+1,curI,cnt,K);
    }
}

void deal(i64 B)
{
    i64 cnt=myPow(m,B*B,mod)+2*myPow(m,(B*B+3)/4,mod)+myPow(m,(B*B+1)/2,mod);
    cnt%=mod;
    cnt=cnt*gcdReverse(4,mod)%mod;

    i64 K=(n-1)*(n+1)/(B*B);
    tempAns=0;
    dfs(0,1,cnt,K);
    tempAns=tempAns*gcdReverse(K,mod)%mod;
    ans=(ans+tempAns)%mod;
}

void DFS(int dep,i64 curB)
{
    if(dep==SZ(factor))
    {
        deal(curB);
        return;
    }
    DFS(dep+1,curB);
    i64 x=factor[dep].first;
    i64 y=factor[dep].second;
    if(y>=2)
    {
        i64 i;
        for(i=2;i<=y;i+=2)
        {
            factor[dep].second-=i;
            DFS(dep+1,curB*myPow(x,i/2));
            factor[dep].second+=i;
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    int num=0;
    rush()
    {
        scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
        if(n==1)
        {
            printf("Case %d: %I64d\n",++num,m);
            continue;
        }
        factor.clear();
        factor=unionFactor(split(n+1),split(n-1));
        sort(factor.begin(),factor.end());

        ans=0;
        DFS(0,1);
        ans=ans*m%mod;
        printf("Case %d: %I64d\n",++num,ans);
    }
}