2023牛客多校第一场B Anticomplementary Triangle

①：有结论：面积最大的三角形即为所求
证明：若有点在面积最大的三角形对应$“AnticomplementaryTriangle”$之外，一定能取得更大的面积。如下图：

②：$O(n)$时间内找到这个三角形
$1.O(n^2)$显然，因为$i,j$固定后，面积关于坐标k的函数一定是单峰函数，$j,k$可以当双指针做，复杂度少一个$n$
$2.$假如依然按双指针做，固定$i,j0$时找到最优的$k0$，固定$i,j1$时找到最优的$k1$，固定$i,j2$时找到最优的$k2$，并且固定$i,k0$时找到的最优解是$j2$
现证明$S(i,j1,k1)<S(i,j2,k2)$
根据定义可列出如下不等式：
$S(i,j1,k0)<S(i,j2,k0)<S(i,j2,k1)<S(i,j2,k2)$
满足$S(i,j1,k0)<S(i,j2,k0)$ 的情况下，图形如下所示，故可得到另一个不等式：$S(i,j1,k1)<S(i,j2,k1)$
得证

原本是$j$依次枚举，$k$双指针跳转，这个结论可得到$j,k$绑定，$i$和$j,k$的结合体做双指针，复杂度$O(n)$

#include
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e6+3;
struct point{
	int x,y;
}p[N];
#define gc getchar
inline int rd(){
	int x=0,fl=1;char ch=gc();
	for (;ch<48||ch>57;ch=gc())if(ch=='-')fl=-1;
	for (;48<=ch&&ch<=57;ch=gc())x=x*10+(ch^48);
	return x*fl;
}
int cross(point p0,point p1,point p2){
	return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
int li,lj,lk,n,i;
#define upd if(tmp>ans)ans=tmp,li=i,lj=j,lk=k;
void rotate(){
	int ans=0;
	p[n]=p[0];
	for (int i=0,j=1,k=2;i<n;i++){
		while (1){
			int tmp,jj=j,kk=k;
			while ((tmp=cross(p[i],p[j],p[k]))<cross(p[i],p[j],p[k+1])) k=(k==n-1?0:k+1);
			upd
			while ((tmp=cross(p[i],p[j],p[k]))<cross(p[i],p[j+1],p[k])) j=(j==n-1?0:j+1);
			upd
			if (j==jj && k==kk) break;
		}
	}
}
signed main(){
	n=rd();
	for (i=0;i<n;i++) p[i].x=rd(),p[i].y=rd();
	rotate();
	printf("%lld %lld %lld",li+1,lj+1,lk+1);
}

其实还可以类似$j$的证法证一证$i$，三个数一起循环看起来也更优美一点，代码如下：

#include
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e6+3;
struct point{
    int x,y;
}p[N];
#define gc getchar
inline int rd(){
	int x=0,fl=1;char ch=gc();
	for (;ch<48||ch>57;ch=gc())if(ch=='-')fl=-1;
	for (;48<=ch&&ch<=57;ch=gc())x=x*10+(ch^48);
	return x*fl;
}
int cross(point p0,point p1,point p2){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
int li,lj,lk,n,i;
#define upd if(tmp>ans)ans=tmp,li=i,lj=j,lk=k;
void rotate(){
    int ans=0;
    p[n]=p[0];
    int i=0,j=1,k=2;
    bool fl=0;
    while (k && !fl){
    	int ii=i,jj=j,kk=k,tmp;
        while((tmp=cross(p[i],p[j],p[k]))<cross(p[i],p[j],p[k+1]))
        	if (k==n-1) fl=1,k=0;
        	else k++;
		upd
        while((tmp=cross(p[i],p[j],p[k]))<cross(p[i],p[j+1],p[k])) j=(j==n-1?0:j+1);
		upd
        while((tmp=cross(p[i],p[j],p[k]))<cross(p[i+1],p[j],p[k])) i=(i==n-1?0:i+1);
        upd
        if (i==ii && j==jj && k==kk) k=(k==n-1?0:k+1);
    }
}
signed main(){
	n=rd();
	for (i=0;i<n;i++) p[i].x=rd(),p[i].y=rd();
	rotate();
	printf("%lld %lld %lld",li+1,lj+1,lk+1);
}